【题目】如图,,是外一点,平分,若,则的大小是______.
【答案】30°
【解析】
过点B作BE⊥DA,交DA延长线于E,BF⊥DC,交DC延长线于F,过点A作AM⊥BC于M,根据等腰三角形的性质可得MB=BC,根据角平分线的性质可得BE=BM,由∠BCD=150°可得∠BCF=30°,∠FBC=60°,由含30°角的直角三角形的性质可得BF=BC=BM,即可证明BM=BE,利用HL可证明△AEB≌△AMB,可得∠ABE=∠ABM=∠ABD+∠DBC,由三角形内角和可得∠DBE=∠DBF,根据角的和差关系求出∠ABD的度数即可.
过点B作BE⊥DA,交DA延长线于E,BF⊥DC,交DC延长线于F,过点A作AM⊥BC于M,
∵AB=AC,AM⊥BC,
∴BM=CM=BC,
∵BD平分∠ADC,BE⊥DE,BF⊥DF,
∴BE=BF,
∵∠BCD=150°,
∴∠BCF=30°,∠FBC=60°,
∴BF=BC,
∴BM=BE,
又∵AB=AB,
∴△AEB≌△ANB,
∴∠ABE=∠ABM=∠ABD+∠DBC,
∵∠ADB=∠CDB,∠BED=∠BFD=90°,
∴∠DBE=∠DBF,
∴∠ABD+∠DBC+∠ABD=∠FBC+∠DBC=60°+∠DBC,
∴2∠ABD=60°,
∴∠ABD=30°.
故答案为:30°
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【题目】如图:在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C在△ABC外作直线MN,AM⊥MN于M,BN⊥MN于N.
(1)求证:MN=AM+BN.
(2)若过点C在△ABC内作直线MN,AM⊥MN于M,BN⊥MN于N,则AM、BN与MN之间有什么关系?请说明理由.
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【题目】关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等实根x1、x2.
(1)求实数k的取值范围.
(2)若方程两实根x1、x2满足x1+x2=﹣x1x2,求k的值.
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【题目】如图1,点P,Q分别是边长为4 cm的等边△ABC边AB,BC上的动点,点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发,都以1 cm/s的速度分别向B,C运动.
(1)连接AQ,CP交于点M,则P,Q运动的过程中,∠CMQ的大小变化吗?若变化,说明理由;若不变,求出它的度数;
(2)何时△PBQ是直角三角形?
(3)如图2,若点P,Q在运动到终点后继续在射线 AB,BC上运动,直线AQ,CP交于点M,则∠CMQ的度数为。
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,△CDE是等边三角形,点D在边AB上.
(1)如图1,当点E在边BC上时,求证DE=EB;
(2)如图2,当点E在△ABC内部时,猜想ED和EB数量关系,并加以证明;
(3)如图3,当点E在△ABC外部时,EH⊥AB于点H,过点E作GE∥AB,交线段AC的延长线于点G,AG=5CG,BH=3.求CG的长.
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【题目】请按要求完成下面三道小题(本题作图不要求尺规作图).
(1)如图1,AB=AC.这两条线段一定关于∠BAC的______所在直线对称,请画出该直线.
(2)如图2,已知线段AB和点C.求作线段CD,使它与AB成轴对称,且A与C是对称点,对称轴是线段AC的______.
(3)如图3,任意位置(不成轴对称)的两条线段AB,CD,AB=CD.你能从(1),(2)问中获得的启示,对其中一条线段作两次轴对称使它们重合吗?如果能,请画出图形并简要描述操作步骤;如果不能,请说明理由.
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【题目】如图,已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O,连接AF、CE.
(1)求证:△AOE≌△COF;
(2)求证:四边形AFCE为菱形;
(3)求菱形AFCE的周长.
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【题目】已知:如图,在四边形ABCD中,E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点,且AF=CE,DF=BE,DF∥BE.
(1)求证:△CDF≌△ABE;
(2)求证:四边形ABCD是平行四边形.
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,直线与轴,轴分别交于,两点.直线与交于点且与轴,轴分别交于,.
图1 图2 图3
(1)求出点坐标,直线解析式;
(2)如图2,点为线段上一点(不含端点),连接,一动点从出发,沿线段以每秒个单位的速度运动到点,再沿线段以每秒个单位的速度运动到点停止,求点在整个运动过程中所用最少时间时点的坐标;
(3)如图3,平面直角坐标系中有一点,使得,求点坐标.
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