Question

6．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，点F为AB上一点，DF⊥CD，BE⊥CD于E，DF=BF，求证：
（1）△CDF≌△CBF；
（2）AD=DE．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形的全等条件证明即可；
（2）利用垂直的性质证明A、B、E、D共圆，再证明即可．

解答 证明：（1）∵AD∥BC，∠A=90°，
∴∠CBF=∠A=90°，
∵DF⊥CD，
∴∠CDF=90°，
∴∠CDF=∠CBF，
在RT△CDF与RT△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DB=BF}\\{CF=CF}\end{array}\right.$，
∴RT△CDF≌RT△CBF（HL）；
（2）∵DF=BF，
∴∠ABD=∠BDF，
∵DF⊥CD，BE⊥CD，
∴DF∥BE，
∴∠BDF=∠DBE，
∴∠ABD=∠DBE，
∵AB⊥AD，BE⊥DE，
∴A、B、E、D共圆，
∵∠ABD=∠DBE，
∴AD=DE．

点评 此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL证明直角三角形的全等．