Question

9．如图，要建造一个直角梯形的花圃，要求AD边靠墙，CD⊥AD，AB：CD=5：4，另外三边的和为20米，设AB的长为5x米
（1）求出AD的长；（用含字母x的式子表示）
（2）若该花圃的面积为50平方米，且周长不大于30米，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）作BE⊥AD于E，就可以得出BE=CD，在Rt△ABE中由勾股定理就可以求出AE，由BC=DE就可以表示出AD而得出结论；
（2）由（1）的结论根据梯形的面积公式求出x的值，建立不等式求出x的取值范围就可以得出结论．

解答 解：（1）作BE⊥AD于E，
∴∠AEB=∠DEB=90°．
∵CD⊥AD，
∴∠ADC=90°．
∵BC∥AD，
∴∠EBC=90°，
∴四边形BCDE是矩形，
∴BE=CD，BC=DE．
∵AB：CD=5：4，AB的长为5x米，
∴CD=4x米，
∴BE=4x，
在Rt△ABE中，由勾股定理，得
AE=3x．
∵BC=20-5x-4x=20-9x，
∴DE=20-9x，
∴AD=20-9x+3x=20-6x；

（2）∵AB+BC+CD+DA≤30，
∴5x+20-9x+4x+20-6x≤30，
∴x≥$\frac{5}{3}$，
又∵$\frac{1}{2}$（AD+BC） CD=50，即$\frac{1}{2}$（20-9x+20-6x）•4x=50，
即3x²-8x+5=0，解之得：x₁=1，x₂=$\frac{5}{3}$，
∵x≥$\frac{5}{3}$，故只取x=$\frac{5}{3}$，
∵AB=5x，
∴AB=$\frac{25}{3}$，
∴AB的长为$\frac{25}{3}$米．

点评 本题考查了勾股定理的运用，梯形的面积公式的运用，梯形的周长公式的运用，一元二次方程的解法的运用，一元一次不等式的运用，解答时根据条件建立方程及不等式是关键．