Question

7．已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，且AD⊥BD，垂足为D，AD与BC相交于点H．
求证：AH=2BD．

Answer 1

分析 延长AC，BD交于点E，首先证明△ACH≌△BCE，则AH=BE，然后再证明△ABD≌△AED，则BD=DE，即BE=2BD，通过等量代换可得到问题的答案．

解答 证明：延长AC，BD交于点E．

∵AD⊥BD，∠ACB=90°
∴∠ADB=∠ACB=90°．
∵∠AHC=∠BHD，
∴∠CAH=∠CBE．
在△CAH和△CBE中$\left\{\begin{array}{l}∠CAH=∠CBE\\ CA=CB\\∠ACH=∠BCE\end{array}\right.$
∴△ACH≌△BCE（ASA）
∴AH=BE．
在△ABD和△AED中$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠ADE}\\{AD=AD}\\{∠BAD=∠EAD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△AED
∴BD=DE．
∴BE=2BD
∴AH=2BD．

点评 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定定理的应用，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．