Question

已知a、b是不为零的实数，对于任意实数x、y，都有（a²+b²）（x²+y²）+8bx+8ay-k²+k+28≥0，其中k是实数，则k的最大值为多少？

Answer 1

考点：配方法的应用,非负数的性质：偶次方

专题：

分析：根据配方，可得[x+

4b

a2+b2

]²+[y+

4a

a2+b2

]²-

k2-k-12

a2+b2

≥0，根据非负数的和为非负数，可得-

k2-k-12

a2+b2

≥0，根据分式的性质，可得不等式组，根据解不等式组，可得答案．

解答：解：对任意实数x，y，都有（a²+b²）（x²+y²）+8bx+8ay-k²+k+28≥0，
两边都除以（a²+b²），得x²+

8bx

a2+b2

+y²+

8ay

a2+b2

-

k2-k-28

a2+b2

≥0
分别配方：
[x+

4b

a2+b2

]²+[y+

4a

a2+b2

]²-

k2-k-12

a2+b2

≥0．
若不等式恒成立，需
k²-k-12≤0．
因式分解，得
（k-4）（k+3）≤0，
解得-3≤k≤4，
k的最大值为4．

点评：本题考查了配方法的应用，配方是解题关键，利用因式分解解不等式．