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【题目】如图,在边长为4的正方形ABCD中,点P在AB上从A向B运动,连接DP交AC于点Q.

(1)试证明:无论点P运动到AB上何处时,都有ADQ≌△ABQ;

(2)当点P在AB上运动到什么位置时,ADQ的面积是正方形ABCD面积的

(3)若点P从点A运动到点B,再继续在BC上运动到点C,在整个运动过程中,当点P运动到什么位置时,ADQ恰为等腰三角形.

【答案】1证明见解析;(2)AP=2;(3)P在B点,C点,或在CP=4(-1)处,ADQ是等腰三角形.

【解析】

试题分析:(1)可由SAS求得ADQ≌△ABQ;

(2)过点Q作QEAD于E,QFAB于F,则QE=QF,若ADQ的面积是正方形ABCD面积的,则有SADQ=ADQE=S正方形ABCD,求得OE的值,再利用DEQ∽△DAP有,解得AP值;

(3)点P运动时,ADQ恰为等腰三角形的情况有三种:有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD.由正方形的性质知,当点P运动到与点B重合时,QD=QA,此时ADQ是等腰三角形,当点P与点C重合时,点Q与点C也重合,此时DA=DQ,ADQ是等腰三角形,当AD=AQ=4时,有CP=CQ,CP=AC-AD而由正方形的对角线的性质得到CP的值.

试题解析:(1)在正方形ABCD中,

无论点P运动到AB上何处时,都有

AD=AB,DAQ=BAQ,AQ=AQ,

∴△ADQ≌△ABQ;

(2)ADQ的面积恰好是正方形ABCD面积的时,

过点Q作QEAD于E,QFAB于F,则QE=QF,

在边长为4的正方形ABCD中,

S正方形ABCD=16,

AD×QE=S正方形ABCD=×16=

QE=

EQAP,

∴△DEQ∽△DAP,

,即

解得AP=2,

AP=2时,ADQ的面积是正方形ABCD面积的

(3)若ADQ是等腰三角形,则有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD,

当AD=DQ时,则DQA=DAQ=45°

∴∠ADQ=90°,P为C点,

当AQ=DQ时,则DAQ=ADQ=45°

∴∠AQD=90°,P为B,

AD=AQ(P在BC上),

CQ=AC-AQ=BC-BC=(-1)BC

ADBC

,即可得=1,

CP=CQ=(-1)BC=4(-1)

综上,P在B点,C点,或在CP=4(-1)处,ADQ是等腰三角形.

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