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【题目】如图1,已知正方形OABC的边长为2,顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,M是BC的中点.P(0,m)是线段OC上一动点(C点除外),直线PM交AB的延长线于点D.

(1)求点D的坐标(用含m的代数式表示);
(2)当△APD是等腰三角形时,求m的值;
(3)设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E,过点O作直线ME的垂线,垂足为H(如图2),当点P从点O向点C运动时,点H也随之运动.请直接写出点H所经过的路径长.(不必写解答过程)

【答案】
(1)

解:由题意得CM=BM,

∵∠PMC=∠DMB,

∴Rt△PMC≌Rt△DMB,

∴DB=PC,

∴DB=2﹣m,AD=4﹣m,

∴点D的坐标为(2,4﹣m)


(2)

解:分三种情况

①若AP=AD,则4+m2=(4﹣m)2,解得

②若PD=PA

过P作PF⊥AB于点F(如图),

则AF=FD= AD= (4﹣m)

又∵OP=AF,

③若PD=DA,

∵△PMC≌△DMB,

∴PM= PD= AD= (4﹣m),

∵PC2+CM2=PM2

解得 (舍去).

综上所述,当△APD是等腰三角形时,m的值为


(3)

解:点H所经过的路径长为

理由是:∵P(0,m)是线段OC上一动点(C点除外),

∴0≤m<2,

当O与P重合时,P点才开始运动,过P、M、B三点的抛物线y=﹣x2+3x,

此时ME的解析式为y=﹣x+3,则∠MEO=45°,

又∵OH⊥EM,

∴△OHE为等腰直角三角形,

∴点O、H、B三点共线,

∴点H所经过的路径以OM为直径的劣弧 的长度,

∵∠COH=45°,

∴H转过的圆心角为90°,

∵OM=

则弧长= = = π.


【解析】(1)证明Rt△PMC≌Rt△DMB,即可证明DB=2﹣m,AD=4﹣m,从而求解;(2)分AP=AD,PD=PA,PD=DA三种情况,根据勾股定理即可求解;(3)运动时,路线长不变,可以取当P在O点时,求解即可.

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A. =
B. =
C. =
D. =

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