【题目】如图1,已知正方形OABC的边长为2,顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,M是BC的中点.P(0,m)是线段OC上一动点(C点除外),直线PM交AB的延长线于点D.
(1)求点D的坐标(用含m的代数式表示);
(2)当△APD是等腰三角形时,求m的值;
(3)设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E,过点O作直线ME的垂线,垂足为H(如图2),当点P从点O向点C运动时,点H也随之运动.请直接写出点H所经过的路径长.(不必写解答过程)
【答案】
(1)
解:由题意得CM=BM,
∵∠PMC=∠DMB,
∴Rt△PMC≌Rt△DMB,
∴DB=PC,
∴DB=2﹣m,AD=4﹣m,
∴点D的坐标为(2,4﹣m)
(2)
解:分三种情况
①若AP=AD,则4+m2=(4﹣m)2,解得 ;
②若PD=PA
过P作PF⊥AB于点F(如图),
则AF=FD= AD= (4﹣m)
又∵OP=AF,
∴
则
③若PD=DA,
∵△PMC≌△DMB,
∴PM= PD= AD= (4﹣m),
∵PC2+CM2=PM2,
∴ ,
解得 (舍去).
综上所述,当△APD是等腰三角形时,m的值为 或 或
(3)
解:点H所经过的路径长为 ;
理由是:∵P(0,m)是线段OC上一动点(C点除外),
∴0≤m<2,
当O与P重合时,P点才开始运动,过P、M、B三点的抛物线y=﹣x2+3x,
此时ME的解析式为y=﹣x+3,则∠MEO=45°,
又∵OH⊥EM,
∴△OHE为等腰直角三角形,
∴点O、H、B三点共线,
∴点H所经过的路径以OM为直径的劣弧 的长度,
∵∠COH=45°,
∴H转过的圆心角为90°,
∵OM= ,
则弧长= = = π.
【解析】(1)证明Rt△PMC≌Rt△DMB,即可证明DB=2﹣m,AD=4﹣m,从而求解;(2)分AP=AD,PD=PA,PD=DA三种情况,根据勾股定理即可求解;(3)运动时,路线长不变,可以取当P在O点时,求解即可.
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【题目】已知:如图,在△ABC中,BC=AC,以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D,DE⊥AC,垂足为点E.
(1)求证:点D是AB的中点;
(2)判断DE与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(3)若⊙O的直径为18,cosB= ,求DE的长.
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【题目】已知在△ABC中,∠B=90°,以AB上的一点O为圆心,以OA为半径的圆交AC于点D,交AB于点E.
(1)求证:ACAD=ABAE;
(2)如果BD是⊙O的切线,D是切点,E是OB的中点,当BC=2时,求AC的长.
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【题目】根据第五次、第六次全国人口普查结果显示:某市常住人口总数由第五次的400万人增加到第六次的450万人,常住人口的学历状况统计图如下(部分信息未给出):
解答下列问题:
(1)计算第六次人口普查小学学历的人数,并把条形统计图补充完整;
(2)第六次人口普查结果与第五次相比,该市常住人口中高中学历人数增长的百分比是多少?
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【题目】如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过点(0,﹣3),请你确定一个b的值,使该抛物线与x轴的一个交点在(1,0)和(3,0)之间.你确定的b的值是 .
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【题目】四条线段a,b,c,d如图,a:b:c:d=1:2:3:4
(1)选择其中的三条线段为边作一个三角形(尺规作图,要求保留作图痕迹,不必写出作法);
(2)任取三条线段,求以它们为边能作出三角形的概率.
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【题目】A,B两种机器人都被用来搬运化工原料,A型机器人比B型机器人每小时多搬运40千克,A型机器人搬运1200千克所用时间与B型机器人搬运800千克所用时间相等.设B型机器人每小时搬运化工原料x千克,根据题意可列方程为( )
A. =
B. =
C. =
D. =
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一条直线与反比例函数y= (x>0)的图象交于两点A、B,与x轴交于点C,且点B是AC的中点,分别过两点A、B作x轴的平行线,与反比例函数y= (x>0)的图象交于两点D、E,连接DE,则四边形ABED的面积为 .
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,M、N分别是AB、AC的中点,延长BC至点D,使CD= BD,连接DM、DN、MN.若AB=6,则DN= .
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