Question

如图所示，在△ABC中，∠ACB=60°，AC＞BC，又△ABC′，△BCA′、△CAB′都是△ABC外等边三角形，点D在AC上，且BD=BC．
（1）证明：△C′BD≌△B′DC；
（2）证明：△DB′A≌△AC′D；
（3）从△ABC、△A′BC、△AB′C、△ABC′的面积关系上，能得出什么结论？

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形的性质就可以得出△BDC′≌△BCA，△CDB′≌△CBA，就可以得出结论．
（2）由（1）的结论可以得出C′D=B′C，BC′=DB′，由SSS就可以得出结论；
（3）根据（1）（2）可以得出S_△ABC+S_△ABC′=S_△BDC′+S_△ADC′+S_△BDC，S_△A′BC+S_△AB′C=S_△B′DC+S_△ADB′+S_△BDC就可以得出结论．

解答：解：（1）∵△ABC′，△BCA′，△CAB′都是等边三角形，
∴AB=BC′=AC′，BC=BA′=CA′，AC=AB′=CB′，∠ABC′=ACB′=60°．
∵BD=BC，∠ACB=60°，
∴△BDC是等边三角形，
∴BD=CD=BC，∠DBC=∠DCB=60°．
∴∠ABC′=∠DBC，
∴∠ABC′+∠ABD=∠DBC+∠ADB，
∴∠DBC′=∠CBA．
在△BDC′和△BCA中

DB=CB ∠DBC′=∠CBA BC′=BA

，
∴△BDC′≌△BCA（SAS），
∴BD=BC，BC′=BA，DC′=CA，∠BDC′=∠BCA．
在△CDB′和△CBA中，

CD=CB ∠DCB′=∠BCA CB′=CA

，
∴△CDB′≌△CBA（SAS），
∴CB′=CA，CD=CB，DB′=BA，∠DCB′=∠BCA，
∴DC′=CB′，DB=CD，BC′=DB′．
在△C′BD和△B′DC中，

DC′=CB′ DB=CD BC′=DB′

，
∴△C′BD≌△B′DC（SSS）；
（2）∵△C′BD≌△B′DC，
∴C′D=B′C，C′B=B′D，
∴C′D=B′A，C′A=B′D．
在△DB′A和△AC′D中

C′D=B′A C′A=B′D AD=DA

∴△DB′A≌△AC′D（SSS）；
（3）△ABC、△A′BC、△AB′C、△ABC′的面积为：S_△ABC+S_△ABC′=S_△A′BC+S_△AB′C．
理由：∵△C′BD≌△B′DC，△DB′A≌△AC′D，
∴S_△C′BD=S_△B′DC，S_△DB′A=S_△AC′D．
∵BD=CD=BC，BC=BA′=CA′，
∴BD=CD=BC=BA′=CA′，
在△BDC和△BA′C中

BD=BA′ DC=A′C BC=BC

，
∴△BDC≌△BA′C（SSS），
∴S_△BDC=S_△BA′C．
∵S_△ABC+S_△ABC′=S_△BDC′+S_△ADC′+S_△BDC，S_△A′BC+S_△AB′C=S_△B′DC+S_△ADB′+S_△BA′C，
∴S_△ABC+S_△ABC′=S_△A′BC+S_△AB′C．

点评：本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明三角形全等是关键．