Question

9．分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式
（1）将假分式$\frac{x+2}{x-2}$，化成整式和真分式的和的形式；
（2）将假分式$\frac{{m}^{2}+3}{m+1}$，化成整式和真分式的和的形式；
（3）将分式$\frac{-{x}^{4}-6{x}^{2}+8}{{x}^{2}+1}$化成整式和真分式的和的形式，并求出最大值是多少．

Answer 1

分析 （1）分式变形后，利用同分母分式的加减逆运算法则变形即可得到结果；
（2）分式变形后，利用同分母分式的加减逆运算法则变形即可得到结果；
（3）分式变形后，利用同分母分式的加减逆运算法则变形得到结果，分别确定整式和真分式的最大值，即可确定出原式的最大值．

解答 解：（1）原式=$\frac{x-2+4}{x-2}$=1+$\frac{4}{x-2}$；
（2）原式=$\frac{（m+1）^{2}-2m+2}{m+1}$=m+1+$\frac{2-2m}{m+1}$；
（3）原式=$\frac{-{x}^{2}（{x}^{2}+1）-（5{x}^{2}+5）+13}{{x}^{2}+1}$，
=$\frac{（-{x}^{2}-5）（{x}^{2}+1）+13}{{x}^{2}+1}$，
=-x²-5+$\frac{13}{{x}^{2}+1}$，
当x=0时，-x²-5有最大值-5，$\frac{13}{{x}^{2}+1}$有最大值13，-5+13=8
∴$\frac{-{x}^{4}-6{x}^{2}+8}{{x}^{2}+1}$的最大值等于8．

点评 本题主要考查了运用分式的加减运算对分式进行变形的问题，还考查了学生的自学能力以及类比迁移思想，注意总结．