Question

已知抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A、B两点，点A在点B左边，点B的坐标为（3，0），且抛物线的对称轴是直线x=．
（1）求此抛物线的表达式．
（2）在抛物线的对称轴右边的图象上，是否存在点M，使锐角三角形AMB的面积等于3？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在（1）（2）条件下，若P点是抛物线上的一点，且∠PAM=90°，求△APM的面积．

Answer 1

解：（1）抛物线的对称轴是直线x=-=，
解得b=-3，
∵点B（3，0）在抛物线上，
∴9-3×3+c=0，
解得c=0．
所以此抛物线的表达式为y=x²-3x；

（2）存在．
理由如下：令y=0，则x²-3x=0，
解得x₁=0，x₂=3，
∵点A在点B左边，
∴点A的坐标为（0，0），
∴AB=3，
设点M到AB的距离为h，则S_△AMB=×3•h=3，
解得h=2，
∵△AMB是锐角三角形，
∴点M应该在x轴的下方，
∴点M的纵坐标为-2，
代入抛物线解析式得，x²-3x=-2，
即x²-3x+2=0，
解得x₁=1，x₂=2，
又∵点M在对称轴右边的图象上，
∴点M的横坐标为2，
∴点M的坐标为（2，-2），
此时，过点M作MN⊥x轴于点N，则AN=MN=2，BN=1，
∴∠AMN=45°，∠BMN＜45°，
∴∠AMB＜90°，是锐角，
∴△AMB是锐角三角形，
故存在点M（2，-2），使锐角三角形AMB的面积等于3；

（3）由（2）得∠MAN=45°，
∵∠PAM=90°，
∴∠PAN=90°-45°=45°，
∴点P在直线y=x上，
联立，
解得（舍去），，
∴点P的坐标为（4，4），
根据勾股定理，AM==2，
PA==4，
所以△APM的面积=AM•PM=×2×4=8．
分析：（1）根据抛物线对称轴解析式列式求出b，再把点B的坐标代入求出c，即可得解；
（2）根据抛物线解析式求出点A的坐标，再求出AB的长度，然后利用三角形的面积公式求出点M到AB的距离，然后根据△AMB是锐角三角形判断点M在x轴下方，从而确定点M的纵坐标，再代入抛物线解析式计算求出横坐标，从而得解；
（3）根据点M的坐标可得∠BAM=45°，然后求出∠PAB=45°，从而写出直线PA的解析式，与抛物线解析式联立求出点P的坐标，再利用勾股定理求出PA、AM的长度，然后根据直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半计算即可得解．
点评：本题是对二次函数的综合考查，主要利用了二次函数的对称轴，点在抛物线上，三角形的面积，直角三角形的面积以及直线与抛物线的交点的求解，难度不是很大，先求出抛物线的解析式是解题的关键，数据的巧妙设计也是本题的一大特点．