Question

【题目】如图，已知，在锐角△ABC中，CE⊥AB于点E，点D在边AC上，联结BD交CE于点F，且EF·FC=FB·DF.

（1）求证：BD⊥AC；

（2）联结AF，求证：AF·BE=BC·EF.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】试题分析：（1）由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得△EFB∽△DFC，再由相似三角形对应角相等得∠FEB=∠FDC = 90°，即可得证；

（2）由△EFB∽△DFC得∠ABD =∠ACE，进而△AEC∽△FEB，由相似三角形对应边成比例得，由此△AEF∽△CEB，可得.

试题解析：（1）∵AF·BE=BC·EF ，

∴，

∵ ∠EFB=∠DFC，

∴ △EFB∽△DFC.

∴ ∠FEB=∠FDC.

∵ CE⊥AB，

∴ ∠FEB= 90°.

∴ ∠FDC= 90°.

∴ BD⊥AC.

（2）∵ △EFB∽△DFC，

∴ ∠ABD =∠ACE.

∵ CE⊥AB，

∴ ∠FEB= ∠AEC= 90°.

∴ △AEC∽△FEB.

∴,

∴.

∵ ∠AEC=∠FEB= 90°，

∴ △AEF∽△CEB.

∴，

∴.