Question

如图，P、Q分别为四边形ABCD的边BC，AD上的点，且

AQ

QD

=

BP

PC

=

AB

CD

，求证：直线PQ与AB之间的夹角等于直线PQ与CD之间的夹角．

Answer 1

考点：平行线分线段成比例

专题：证明题

分析：要证明夹角相等，题目中的线段太分散，可以把线段进行集中，如图，将CD平移到C′A的位置，则AC′∥DC，且AC′=DC，过点P作CC′的平行线交BC′于点R，可得到AR平分∠BAC′，再结合条件证明∠BEP=∠BAR=∠RAC′=∠PFC，可得出结论．

解答：证明：
如图，将CD平移到C′A的位置，则AC′∥DC，且AC′=DC，
过点P作CC′的平行线交BC′于点R，则BR：RC′=BP：PC=AB：CD=AB：AC，
∴AR平分∠BAC′，
又RP∥CC′，且BP：PC=AQ：QD，
∴RP：CC′=BP：BC=AQ：AD，
而CC′∥AD，且CC′=AD，
∴RP∥AQ，且RP=AQ，
∴AR∥FP，
又AC′∥DC，且AR平分∠BAC′，
∴∠BEP=∠BAR=∠RAC′=∠PFC，
即直线PQ与AB之间的夹角等于直线PQ与CD之间的夹角．

点评：本题主要考查平行线分线段成比例，把题目中的线段集中到一点利用平行得到要求的结论是解题的关键．