Question

已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离OH=3，点P是圆上一动点，设过点P且与AB平行的直线为l，记直线AB到直线l的距离为d．
（1）求AB的长；
（2）如果点P只有两个时，求d的取值范围；
（3）如果点P有且只有三个时，求连接这三个点所得到的三角形的面积．

Answer 1

考点：垂径定理,平行线之间的距离

专题：

分析：（1）连接OA，根据勾股定理求出AH，根据垂径定理得出即可；
（2）求出HC和HD的值，结合图形得出即可；
（3）先找出符合条件时的位置，求出三角形的高和底边，根据三角形的面积公式求出即可．

解答：解：（1）
连接OA，如图1，
∵AB⊥OC，
∴∠OHA=90°，AB=2AH，
在Rt△AHO中，OA=5，OH=3，由勾股定理得：AH=4，
∴AB=2AH=8；

（2）
延长CO交⊙O于D，如图2，
∵CH=5-3=2，HD=5+3=8，
∴点P只有两个时d的取值范围是2＜d＜8；

（3）
如图3，∵CH=5-3=2，HD=5+3=8，
∴点P有且只有三个时，d=2，
如图，P在C、E、F处，连接OE，
∵OC⊥AB，AB∥EF，
∴OC⊥EF，
∴EF=2EM，
∵OE=5，OM=5-2-2=1，CM=2+2=4，
∴由勾股定理得：EM=

52-12

=2

6

；
∴EF=2EM=4

6

，
∴S_△CEF=

1

2

×EF×CM=

1

2

×4

6

×4=8

6

即点P有且只有三个时，连接这三个点所得到的三角形的面积是8

6

．

点评：本题考查了垂径定理和勾股定理，直线和圆的位置关系的应用，解此题的关键是能理解题意，题目比较好，但是有一定的难度．