Question

（2009•厦门）如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，AF交CD于E，交BC的延长线于F．
（1）若∠B+∠DCF=180°，求证：四边形ABCD是等腰梯形；
（2）若E是线段CD的中点，且CF：CB=1：3，AD=6，求梯形ABCD中位线的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据等角的补角相等即可证明梯形的两个底角相等，从而证明了该梯形是等腰梯形；
（2）发现全等三角形，根据全等三角形的性质证明AD=CF，从而得到上下底之间的关系，求得下底长，再根据梯形的中位线定理进行计算．
解答：（1）证明：∵∠DCB+∠DCF=180°，
又∵∠B+∠DCF=180°，
∴∠B=∠DCB．
∵四边形ABCD是梯形，
∴四边形ABCD是等腰梯形．

（2）解：∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠F．
∵E是线段CD的中点，
∴DE=CE．
又∵∠DEA=∠FEC，
∴△ADE≌△FCE，
∴AD=CF，
∵CF：BC=1：3，
∴AD：BC=1：3．
∵AD=6，
∴BC=18．
∴梯形ABCD的中位线=（18+6）÷2=12．
点评：考查了等腰梯形的判定、全等三角形的判定和性质、梯形的中位线定理．