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如图,△ABC中,点O是AC边上的一动点,过O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.
(1)求证:OE=OF;
(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形,并证明你的结论;
解:(1)证明:∵MN∥BC,CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,
∴∠BCE=∠ACE=∠OEC,∠OCF=∠FCD=∠OFC,
∴OE=OC,OC=OF,
∴OE=OF.
(2)当O运动到AC中点时,四边形AECF是矩形,
∵AO=CO,OE=OF,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵∠ECA+∠ACF=∠BCD,
∴∠ECF=90°,
∴四边形AECF是矩形.
(1)根据MN∥BC,CE平分∠ACB,CF平分∠ACD及等角对等边即可证得OE=OF;
(2)根据矩形的性质可知:对角线且互相平分,即AO=CO,OE=OF,故当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形。
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