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    14．已知Rt△ABC中，AC=BC=2．一直角的顶点P在AB上滑动，直角的两边分别交线段AC，BC于E．F两点
    （1）如图1，当$\frac{AP}{PB}$=$\frac{1}{3}$且PE⊥AC时，求证：$\frac{PE}{PF}$=$\frac{1}{3}$；
    （2）如图2，当$\frac{AP}{PB}$=1时（1）的结论是否仍然成立？为什么？
    （3）在（2）的条件下，将直角∠EPF绕点P旋转，设∠BPF=α（0°＜α＜90°）．连结EF，当△CEF的周长等于2+$\frac{2}{3}$$\sqrt{6}$时，请直接写出α的度数．

    分析 （1）如图1，易证△AEP∽△PFB，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
    （2）连接CP，如图2，易证△APE≌△CPF，从而得到PE=PF，故（1）的结论不成立；
    （3）在（2）的条件下可得AE=CF，由此可得EC+CF=2，EF=$\frac{2}{3}$$\sqrt{6}$，设CF=x，在Rt△CEF中运用勾股定理可求出CF的值．由于CF的值有两个，需分以下两种情况讨论：①若CF=$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$，如图3，过点P作PH⊥BC于H，先求出PH、FH，然后在Rt△PHF中运用三角函数可求出∠FPH的度数，由此可求出α的值；②若CF=$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$，如图4，过点P作PG⊥AC于G，同理可求出∠APE度数，由此可求出α的值．

    解答 解：（1）如图1，

    ∵PE⊥AC，
    ∴∠AEP=∠PEC=90°．
    又∵∠EPF=∠ACB=90°，
    ∴四边形PECF为矩形，
    ∴∠PFC=90°，
    ∴∠PFB=90°，
    ∴∠AEP=∠PFB．
    ∵AC=BC，∠C=90°，
    ∴∠A=∠B=45°，
    ∴∠FPB=∠B=45°，△AEP∽△PFB，
    ∴PF=BF，$\frac{PE}{BF}$=$\frac{AP}{PB}$，
    ∴$\frac{PE}{PF}$=$\frac{AP}{PB}$=$\frac{1}{3}$；

    （2）（1）的结论不成立，理由如下：
    连接PC，如图2．

    ∵$\frac{AP}{PB}$=1，
    ∴点P是AB的中点．
    又∵∠ACB=90°，CA=CB，
    ∴CP=AP=$\frac{1}{2}$AB．∠ACP=∠BCP=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，CP⊥AB，
    ∴∠APE+∠CPE=90°．
    ∵∠CPF+∠CPE=90°，
    ∴∠APE=∠CPF．
    在△APE和△CPF中，
    $\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠PCF=45°}\\{PA=PC}\\{∠APE=∠CPF}\end{array}\right.$，
    ∴△APE≌△CPF，
    ∴AE=CF，PE=PF．
    故（1）中的结论$\frac{PE}{PF}$=$\frac{1}{3}$不成立；

    （3）当△CEF的周长等于2+$\frac{2}{3}$$\sqrt{6}$时，α的度数为75°或15°．
    提示：在（2）的条件下，可得AE=CF（已证），
    ∴EC+CF=EC+AE=AC=2．
    ∵EC+CF+EF=2+$\frac{2}{3}$$\sqrt{6}$，
    ∴EF=$\frac{2}{3}$$\sqrt{6}$．
    设CF=x，则有CE=2-x，
    在Rt△CEF中，根据勾股定理可得x2+（2-x）2=（$\frac{2}{3}$$\sqrt{6}$）2，
    整理得：3x2-6x+2=0，
    解得：x1=$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$，x2=$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$．
    ①若CF=$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$，如图3，

    过点P作PH⊥BC于H，
    易得PH=HB=CH=1，FH=1-$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
    在Rt△PHF中，tan∠FPH=$\frac{FH}{PH}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
    ∴∠FPH=30°，
    ∴α=∠FPB=30+45°=75°；
    ②若CF=$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$，如图4，

    过点P作PG⊥AC于G，
    同理可得：∠APE=75°，
    ∴α=∠FPB=180°-∠APE-∠EPF=15°．

    点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角函数的定义、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识，有一定的综合性，得到EC+CF=2是解决第（3）小题的关键．

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    （1）第二周将有300+0.5a名（结果可以含有a）学生选A，有700-0.5a名（结果可以含有a）学生选B；
    （2）试比较第二周星期一选A菜和选B菜的学生人数的大小；
    （3）假设到第三周时选两样菜的学生一样多，请求出a的值．

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