Question

10．如图①，E是正方形ABCD内的边BC上的一点，以BC为边在ABCD内作正方形BEFG，连接AF、FC．
小亮发现在图①中，下面三个结论成立：
（1）AF=FC；
（2）AG=CE；
（3）AG⊥CE；
现在将正方形BEFG按顺时针旋转一个角度α，得到图②，你猜测在图②中上述结论哪些仍然成立？说明理由．

Answer 1

分析 由旋转的性质得∠ABG=∠CBE=α，根据四边形ABCD，BEFG是正方形，于是得到AB=BC，BG=BE，通过ABG≌△BCE，得到AG=CE；延长AB，CE交于M，过点B作BN∥AG交CM于N，根据平行线的性质得到∠BAN=∠MBN，由∠BAN=∠BCM，推出△MNB∽△MBC，得到∠MNB=∠MBC=90°于是得到结论．

解答 解：（1）AF=FC不成立；（2）AG=CE成立；（3）AG⊥CE成立；
证明：由旋转的性质得∠ABG=∠CBE=α，
∵四边形ABCD，BEFG是正方形，
∴AB=BC，BG=BE，
在△ABG与△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABG=∠EBC}\\{BG=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△BCE，
∴AG=CE；故（2）成立；
延长AB，CE交于M，过点B作BN∥AG交CM于N，
∴∠BAN=∠MBN，
∵△ABG≌△BCE，
∴∠BAN=∠BCM，
∴∠MBN=∠BCM，
∵∠M=∠M，
∴△MNB∽△MBC，
∴∠MNB=∠MBC=90°，
∴BN⊥MC，
∴AG⊥EC．
故成立．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质．相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．