Question

如图所示，在△ABC中，DC上AC交AB于点D，若S_△ACD：S_△CDB=2：3，cos∠DCB=，求∠A的度数．

Answer 1

解：作DE⊥DC，交CB于点E，如图所示，
∵AC⊥CD，
∴DE∥AC，
在Rt△CDE中，cos∠DCB==，
设CD=4x，CE=5x，则DE=3x，
∵S_△ACD：S_△CDB=2：3，△ACD与△CDB中AD、DB边上的高相等，
∴AD：DB=2：3，
∴DB：AB=3：5，
∵DE∥AC，
∴==，
∵DE=3x，
∴AC=5x，
在Rt△ACD中，tanA===，
则∠A≈38°40′．
分析：过D作DE垂直DC，交BC于点E，如图所示，由AC与CD垂直，得到DE与AC平行，在直角三角形CDE中，由cos∠DCB的值，利用锐角三角函数定义求出CD与CE的比值，设出CD=4x，CE=5x，利用勾股定理得到DE=3x，再由三角形ACD与三角形CDB面积之比，根据AD、DB边上的高相等得到AD与DB的比值，进而确定出DB与AB之比，由DE与AC平行，利用平行得相似，求出DE与AC之比，表示出AC，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出tanA的值，查表即可求出∠A的度数．
点评：此题考查了解直角三角形题型，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，勾股定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．