Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线交y轴于点A，交x轴于点B，以线段AB为边作菱形ABCD（点C、D在第一象限），且点D的纵坐标为9．

（1）求点A、点B的坐标；

（2）求直线DC的解析式；

（3）除点C外，在平面直角坐标系xOy中是否还存在点P，使点A、B、D、P组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）点A（0，4）；点B（，0）．（2）直线DC的解析式为．（3）点P的坐标为（，﹣5）或（﹣，13）．

【解析】（1）分别令一次函数中x=0、y=0，求出与之对应的y、x的值，由此即可得出点A、B的坐标；

（2）过点D作DE⊥y轴，垂足为E，由点D的纵坐标为9即可得出AE的长，根据菱形的性质得出AB=AD，结合勾股定理即可求出点D的坐标，由DC∥AB可设直线DC的解析式为，代入点D的坐标求出b值即可得出结论；

（3）假设存在，点C时以BD为对角线找出的点，再分别以AB、AD为对角线，根据平行四边形的性质（对角线互相平分）结合点A、B、D的坐标即可得出点P的坐标．

解：（1）令中x=0，则y=4，

∴点A（0，4）；

令中y=0，则﹣x+4=0，解得：x=2，

∴点B（2，0）．

（2）过点D作DE⊥y轴，垂足为E，如图1所示．

∵点D的纵坐标为9，OA=4，

∴AE=5．

∵四边形是ABCD是菱形，

∴AD=AB=，

∴DE==，

∴D（，9）．

∵四边形是ABCD是菱形，

∴DC∥AB，

∴设直线DC的解析式为，

∵直线DC过点D（，9），

∴b=11，

∴直线DC的解析式为．

（3）假设存在．

以点A、B、D、P组成的四边形是平行四边形还有两种情况（如图2）：

①以AB为对角线时，

∵A（0，4），B（2，0），D（，9），

∴点P（0+2﹣，4+0﹣9），即（，﹣5）；

②以AD为对角线时，

∵A（0，4），B（2，0），D（，9），

∴点P（0+﹣2，4+9﹣0），即（﹣，13）．

故除点C外，在平面直角坐标系xOy中还存在点P，使点A、B、D、P组成的四边形是平行四边形，点P的坐标为（，﹣5）或（﹣，13）．

“点睛”本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、菱形的性质、勾股定理以及待定系数法求函数解析，解题的关键是：（1）分别代入x=0，y=0，求出与之对应的y、x的值；（2）求出点D的坐标；（3）分别以AB、AD为对角线求出点P的坐标.本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行四边形的性质（对角线互相平分），结合三个顶点的坐标求出另一顶点坐标是关键.