【题目】如图,ABCD的对角线AC、BD交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E,且∠ADC=60°,AB=BC,连接OE.下列结论:①∠CAD=30°;②SABCD=ABAC;③OB=AB;④OE=BC,成立的个数有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
试题由四边形ABCD是平行四边形,得到∠ABC=∠ADC=60°,∠BAD=120°,根据AE平分∠BAD,得到∠BAE=∠EAD=60°推出△ABE是等边三角形,由于AB=BC,得到AE=BC,得到△ABC是直角三角形,于是得到∠CAD=30°,故①正确;由于AC⊥AB,得到SABCD=ABAC,故②正确,根据AB=BC,OB=BD,且BD>BC,得到AB<OB,故③错误;根据三角形的中位线定理得到OE=AB,于是得到OE=BC,故④正确.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ABC=∠ADC=60°,∠BAD=120°,
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等边三角形,
∴AE=AB=BE,
∵AB=BC,
∴AE=BC,
∴∠BAC=90°,
∴∠CAD=30°,故①正确;
∵AC⊥AB,
∴SABCD=ABAC,故②正确,
∵AB=BC,OB=BD,且BD>BC,
∴AB<OB,故③错误;
∵CE=BE,CO=OA,
∴OE=AB,
∴OE=BC,故④正确.
故选:C.
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【题目】某数学老师为了了解学生在数学学习中常见错误的纠正情况,收集了学生在作业和考试中的常见错误,编制了10道选择题,每题3分,对她所任教的初三(1)班和(2)班进行了检测.如图表示从两班各随机抽取的10名学生的得分情况:
(1)利用图中提供的信息,补全下表:
班级 | 平均数(分) | 中位数(分) | 众数(分) |
(1)班 | 24 | 24 | |
(2)班 | 24 |
(2)若把24分以上(含24分)记为“优秀”,两班各有60名学生,请估计两班各有多少名学生成绩优秀;
(3)观察图中的数据分布情况,你认为哪个班的学生纠错的整体情况更好一些?
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【题目】如图,点O是正六边形ABCDEF的中心.
(1)找出这个轴对称图形的对称轴;
(2)这个正六边形绕点O旋转多少度后能和原来的图形重合?
(3)如果换成其他的正多边形呢?能得到一般的结论吗?
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【题目】为保护美丽如画的邛海湿地,西昌市污水处理厂决定先购买两型污水处理设备共20台,对湿地周边污水进行处理.每台型污水处理设备12万,每台型污水处理设备10万,已知2台型污水处理设备和1台型污水处理设备每周处理污水680吨,3台型污水处理设备和2台型污水处理设备每周处理污水1120吨.
(1)求每台、型污水处理设备每周分别可以处理污水多少吨?
(2)经预算,污水处理厂购买设备的资金不超过230万元,每周处理污水的量不低于4500吨,请列举出所有购买方案,并指出所需购买资金最少的方案及最少资金.
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【题目】综合题
(1)阅读理解:如图①,在四边形ABCD中,AB∥DC,E是BC的中点,若AE是∠BAD的平分线,试判断AB,AD,DC之间的等量关系.
解决此问题可以用如下方法:延长AE交DC的延长线于点F,易证△AEB≌△FEC,得到AB=FC,从而把AB,AD,DC转化在一个三角形中即可判断.
AB、AD、DC之间的等量关系为;
(2)问题探究:如图②,在四边形ABCD中,AB∥DC,AF与DC的延长线交于点F,E是BC的中点,若AE是∠BAF的平分线,试探究AB,AF,CF之间的等量关系,并证明你的结论.
(3)问题解决:如图③,AB∥CF,AE与BC交于点E,BE:EC=2:3,点D在线段AE上,且∠EDF=∠BAE,试判断AB、DF、CF之间的数量关系,并证明你的结论.
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【题目】如图,在中,,,,是的中点.点在线段上以的速度由点向点运动,同时,点在线段上由点向点运动.它们运动的时间为.设点的运动速度为,若使得,则的值为__________.
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【题目】“2017年张学友演唱会”于6月3日在我市观山湖奥体中心举办,小张去离家2520米的奥体中心看演唱会,到奥体中心后,发现演唱会门票忘带了,此时离演唱会开始还有23分钟,于是他跑步回家,拿到票后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回奥体中心,已知小张骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟,且骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍.
(1)求小张跑步的平均速度;
(2)如果小张在家取票和寻找“共享单车”共用了5分钟,他能否在演唱会开始前赶到奥体中心?说明理由.
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【题目】在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系xOy.△ABC的三个顶点都在格点上,点A的坐标是(4,4),请解答下列问题:
(1)将△ABC向下平移5个单位长度,画出平移后的A1B1C1,并写出点A的对应点A1的坐标;
(2)画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2;
(3)将△ABC绕点C逆时针旋转90°,画出旋转后的△A3B3C.
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