Question

设sinα、cosα是方程x2-

m

x+

1

2

=0的两根，△ABC的三边分别为sinα、cosα、

1

2

m，则△ABC的形状是

 

三角形．

Answer 1

分析：根据根与系数的关系得到sinα+cosα=

m

①，sinα•cosα=

1

2

②，根据三角函数的关系得到sin²α+cos²α=1③，①式两边平方得，sin²α+cos²α+2sinα•cosα=m④，把②③代入④可求出m=2，即△ABC的三边分别为sinα，cosα，1，由③即可得到△ABC为直角三角形．

解答：解：∵sinα、cosα是方程x2-

m

x+

1

2

=0的两根，
∴sinα+cosα=

m

①，sinα•cosα=

1

2

②，sin²α+cos²α=1③，
①式两边平方得，sin²α+cos²α+2sinα•cosα=m④，
把②③代入④得，1+1=m，
∴m=2，
∴△ABC的三边分别为sinα，cosα，1，
而sin²α+cos²α=1²，
∴△ABC为直角三角形．
故答案为：直角．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根分别为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了同角三角函数的关系．