Question

17．如图，∠ABC和∠BCD的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1+∠2=90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）过点C作一条射线CG与∠CEF的平分线交于点G，若∠ECF=3∠FCG，∠2=2∠1，求∠CGE的度数．

Answer 1

分析 （1）首先根据角平分线定义可得∠ABE=∠CBE，∠1=∠ECF，然后可得∠ECF+∠2=90°，再证明∠ABF=∠2，进而可证明AB∥CD；
（2）首先计算出∠2和∠ECF的度数，进而可得∠ECG的度数，然后再计算出∠CEG的度数，再利用三角形内角和定理可得答案．

解答 （1）证明：∵∠ABC和∠BCD的平分线交于E，
∴∠ABE=∠CBE，∠1=∠ECF，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠ECF+∠2=90°，
∴∠CEB=∠CEF=90°，
∴∠1+∠EBC=90°，
∴∠2=∠CBE，
∴∠ABE=∠2，
∴AB∥CF；

（2）解：∵∠2=2∠1，∠1+∠2=90°，
∴∠2=60°，∠1=30°，
∵∠1=∠ECF，
∴∠ECF=30°，
∵∠ECF=3∠FCG，
∴∠ECG=20°，∠GCF=10°，
∵∠CEF=90°，EG平分∠CEF，
∴∠CEG=45°，
∴∠CGE=180°-20°-45°=115°．
同理可得：∠FCG′=10°，
则∠ECG′=40°，故∠CG′E=180°-40°-45°=95°，
故∠CGE的度数为95°或115°．

点评 此题主要考查了平行线的判定以及角的计算，关键是掌握内错角相等，两直线平行．