Question

【题目】如图，□ABCD的两个顶点B，D都在抛物线y=x2+bx+c上，且OB=OC，AB=5，tan∠ACB=．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在点E，使以A，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）动点P从点A出发向点D运动，同时动点Q从点C出发向点A运动，运动速度都是每秒1个单位长度，当一个点到达终点时另一个点也停止运动，运动时间为t（秒）．当t为何值时，△APQ是直角三角形？

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x+5；（2）存在点E的坐标为（4，6）（3）或.

【解析】试题分析：（1）根据平行四边形的性质，求出A、B、C、D坐标，然后用待定系数法求出函数的解析式；

（2）根据平行四边形的性质和菱形的判定，求出E点的坐标，然后判断其是否在函数的图像上即可；

（3）当△APQ是直角三角形时，分为∠APQ=90°或∠AQP=90°两种情况，通过解直角三角形求解即可.

试题解析：解：(1) ∵OB=OC，OA⊥BC，AB=5，∴AB= AC=5．

∴tan∠ACB==，∴．

由勾股定理，得OA2+OC2=AC2, ∴()2+OC2=52，解得OC=±4(负值舍去) ．

∴，OB=OC=4，AD=BC=8．

∴A(0，3)，B(-4，0) ，C(4，0) ，D(8，3) ．

∴

解之得

∴抛物线的解析式为y=x2+x+5.

(2)存在.

∵四边形ABCD为平行四边形，∴AC=AB= CD.

又∵AD≠CD，

∴当以A，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，AC=CD=DE=AE

由对称性可得，此时点E的坐标为（4，6）

当x=4时，y=x2+x+5=6，所以点（4，6）在抛物线y=x2+x+5上.

∴存在点E的坐标为（4，6）

(3) ∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB＜90°.

∴当△APQ是直角三角形时，∠APQ=90°或∠AQP=90°.

∵，∴.

由题意可知AP=t，AQ=5-t，0≤t≤5.

当∠APQ=90°时， ，∴，解得.

当∠AQP=90°时， ，∴，解得.

∵，

∴或.