Question

4．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，且AB=CG，AC=BF．
（1）求证：△ABF≌△GCA；
（2）求证：AG⊥AF．

Answer 1

分析 （1）根据垂直定义得出∠BDC=∠GEC=90°，根据等角的余角相等求出∠ABF=∠ACG，根据全等三角形的判定推出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠F=∠GAC，求出∠GAC+∠FAE=90°，即可得出答案．

解答 证明：（1）∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDC=∠GEC=90°，
∵∠DGB=∠EGC，
∴∠ABF=∠ACG（等角的余角相等），
在△ABF和△GCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CG}\\{∠ABF=∠ACG}\\{BF=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△GCA；

（2）由（1）△ABF≌△GCA，
∴∠F=∠GAC，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=∠F+∠FAE=90°，
∴∠GAC+∠FAE=90°，
∴AG⊥AF．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，垂直定义的应用，能求出△ABF≌△GCA是解此题的关键，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的对应角相等，对应边相等．