如图.AB是⊙O的直径.点C是⊙O上一点.AD与过点C的切线垂直.垂足为D.直线DC与AB的延长线交于点P.弦CE平分∠ACB.交AB于点F.连结BE.BE=7$\sqrt{2}$．下列四个结论:①AC平分∠DAB,②PF2=PB•PA,③若BC=$\frac{1}{2}$OP.则阴影部分的面积为$\frac{7}{4}$π-$\frac{49}{4}$$\sqrt{3}$,� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连结BE，BE=7$\sqrt{2}$．下列四个结论：①AC平分∠DAB；②PF²=PB•PA；③若BC=$\frac{1}{2}$OP，则阴影部分的面积为$\frac{7}{4}$π-$\frac{49}{4}$$\sqrt{3}$；④若PC=24，则tan∠PCB=$\frac{3}{4}$．其中正确的是（　　）

A．

①②

B．

③④

C．

①②④

D．

①②③

分析 ①连接OC，根据切线的性质可得OC⊥CD，则AD∥OC，根据等边对等角，以及平行线的性质即可证得；
②根据圆周角定理以及三角形的外角的性质定理证明∠PFC=∠PCF，根据等角对等边即可证得PC=PF，又由∠PCB=∠PAC，∠P=∠P，可证得△PCB∽△PAC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论；
③首先连接AE，由圆周角定理与弦CE平分∠ACB，可得△ABE是等腰直角三角形，继而求得直径AB的长，由BC=$\frac{1}{2}$OP，可得BC是中线，△OBC是等边三角形，继而求得阴影部分的面积；
④在直角△POC中利用勾股定理即可列方程求得PB的长，由△PCB∽△PAC，根据相似三角形的性质求得PB与PC的比值，即可求得tan∠PCB．

解答解：①连接OC．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵PC是⊙O的切线，AD⊥CD，
∴∠OCP=∠D=90°，
∴OC∥AD．
∴∠CAD=∠OCA=∠OAC．
即AC平分∠DAB．故正确；

②∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠PCB+∠ACD=90°，
又∵∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠CAB=∠CAD=∠PCB．
又∵∠ACE=∠BCE，∠PFC=∠CAB+∠ACE，∠PCF=∠PCB+∠BCE．
∴∠PFC=∠PCF．
∴PC=PF，
∵∠P是公共角，
∴△PCB∽△PAC，
∴PC：PA=PB：PC，
∴PC²=PB•PA，
即PF²=PB•PA；故正确；

③连接AE．
∵∠ACE=∠BCE，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{BE}$，
∴AE=BE．
又∵AB是直径，
∴∠AEB=90°．
∴AB=$\sqrt{2}$BE=$\sqrt{2}$×7$\sqrt{2}$=14，
∴OB=OC=7，
∵PD是切线，
∴∠OCP=90°，
∵BC=$\frac{1}{2}$OP，
∴BC是Rt△OCP的中线，
∴BC=OB=OC，
即△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴S_△BOC=$\frac{49}{4}$$\sqrt{3}$，S_扇形BOC=$\frac{60}{360}$×π×7²=$\frac{49}{6}$π，
∴阴影部分的面积为$\frac{49}{6}$π-$\frac{49}{4}$$\sqrt{3}$；故错误；

④∵△PCB∽△PAC，
∴$\frac{PB}{PC}=\frac{BC}{AC}$，
∴tan∠PCB=tan∠PAC=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{PB}{PC}$，
设PB=x，则PA=x+14，
∵PC²=PB•PA，
∴24²=x（x+14），
解得：x₁=18，x₂=-32，
∴PB=18，
∴tan∠PCB=$\frac{PB}{PC}$=$\frac{18}{24}$=$\frac{3}{4}$；故正确．
故选C．

点评本题属于圆的综合题，考查了圆的切线性质以及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．

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