Question

（1）已知菱形ABCD的边长为6，∠A=60°，如果点P是菱形内一点，且PB=PD=2，那么AP的长为______．
（2）对于任意实数x，二次三项式x²+3mx+m²-m+是一个完全平方式，则m=______．

Answer 1

解：（1）当P与A在BD的异侧时：连接AP交BD于M，
∵AD=AB，DP=BP，
∴AP⊥BD（到线段两端距离相等的点在垂直平分线上），
在直角△ABM中，∠BAM=30°，
∴AM=AB•cos30°=3，BM=AB•sin30°=3，
∴PM=，
∴AP=AM+PM=4；
当P与A在BD的同侧时：连接AP并延长AP交BD于点M
AP=AM-PM=2；
当P与M重合时，PD=PB=3，与PB=PD=2矛盾，舍去．
AP的长为4或2．
故答案为：4或2．

（2）二次三项式x²+3mx+m²-m+是一个完全平方式，
∴x²+3mx+m²-m+=（x+）²-m²-m+，
∴-m²-m+=0，
解得：m=-1或5．
故答案为：-1或5．
分析：（1）根据题意得，应分P与A在BD的同侧与异侧两种情况进行讨论；
（2）根据完全平方公式的定义，a²±2ab+b²=（a±b）²，解出即可；
点评：本题考查了完全平方公式以及菱形的性质，注意分两种情况讨论，并且注意两种情况都存在关系AP⊥BD，这是解决本题的关键．