Question

17．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AC=2$\sqrt{2}$，BC=1．
（1）求sin∠ABC；
（2）求CD的长．

Answer 1

分析 （1）如图，首先证明∠ACB=90°，根据勾股定理求出AB的长度，即可解决问题．
（2）如图，证明CE=DE；运用三角形的面积公式求出CE的长度，即可解决问题．

解答 解：（1）如图，∵AB是⊙O的直径，AC=2$\sqrt{2}$，BC=1，
∴∠ACB=90°，$A{B}^{2}=（2\sqrt{2}）^{2}+{1}^{2}$，
∴AB=3，sin∠ABC=$\frac{AC}{AB}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
（2）∵CD⊥AB，
∴CE=DE；由三角形的面积公式得：
$\frac{1}{2}AC•BC=\frac{1}{2}AB•CE$，
∴CE=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，CD=2CE=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

点评 该题主要考查了垂径定理、圆周角定理、三角函数的定义等知识点及其应用问题；牢固掌握垂径定理、圆周角定理等知识点是解题的基础和关键．