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【题目】如图,△ABC的边AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,已知AC=6cm,BC=8cm,点P、Q分别在边AB、BC上,且点P不与点A、B重合,BQ=kAP(k>0),联接PC、PQ.
(1)求⊙O的半径长;
(2)当k=2时,设AP=x,△CPQ的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出定义域;
(3)如果△CPQ与△ABC相似,且∠ACB=∠CPQ,求k的值.

【答案】
(1)解:∵AB是直径,

∴∠ACB=90°,∵AC=6,BC=8,

∴AB= = =10,

∴⊙O的半径为5.


(2)解:如图2中,作PH⊥BC于H.

∵PH∥AC,

=

=

∴PH= (10﹣x),

∴y= CQPH= (8﹣2x) (10﹣x)= x2 x+24(0<x<4).


(3)解:如图,

∵△CPQ与△ABC相似,∠CPQ=∠ACB=90°,

又∵∠CQP>∠B,

∴只有∠PCB=∠B,

∴PC=PB,

∵∠B+∠A=90°,∠ACP+∠PCB=90°,

∴∠A=∠ACP,

∴PA=PC=PB=5,

∴△COQ∽△BCA,

=

=

∴k=


【解析】(1)首先证明∠ACB=90°,然后利用勾股定理即可解决问题.(2)如图2中,作PH⊥BC于H.由PH∥AC,推出 = ,推出 = ,推出PH= (10﹣x),根据y= CQPH计算即可.(3)因为△CPQ与△ABC相似,∠CPQ=∠ACB=90°,又因为∠CQP>∠B,所以只有∠PCB=∠B,推出PC=PB,由∠B+∠A=90°,∠ACP+∠PCB=90°,推出∠A=∠ACP,推出PA=PC=PB=5,由△COQ∽△BCA,推出 = ,推出 = ,即可解决问题.

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