Question

在平行四边形ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于E、F，AE、BF相交于点M．
（1）求证：AE⊥BF；
（2）求证：DF=CE．

Answer 1

证明：（1）∵在?ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，
∴∠DAB=2∠BAE，∠ABC=2∠ABF，
∴2∠BAE+2∠ABF=180°．
即∠BAE+∠ABF=90°，
∴∠AMB=90°．
∴AE⊥BF；
（2）∵在?ABCD中，CD∥AB，
∴∠DEA=∠EAB，
又∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∴∠DEA=∠DAE，
∴DE=AD，
同理可得，CF=BC，
又∵在?ABCD中，AD=BC，
∴DE=CF，
∴DE-EF=CF-EF，
即DF=CE．
分析：（1）因为AE，BF分别是∠DAB，∠ABC的角平分线，那么就有∠MAB=∠DAB，∠MBA=∠ABC，而∠DAB与∠ABC是同旁内角互补，所以，能得到∠MAB+∠MBA=90°，即得证；
（2）要证明两条线段相等．利用平行四边形的对边平行，以及角平分线的性质，可以得到△ADE和△BCF都是等腰三角形，那么就有CF=BC=AD=DE，再利用等量减等量差相等，可证．
点评：本题考查了角平分线的性质，平行四边形的性质以及等量减等量差相等等知识．