Question

9．如图，点A在直线l上，点Q沿着直线l以3厘米/秒的速度由点A向右运动，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，tan∠ABQ=$\frac{3}{4}$，点C在点Q右侧，CQ=1厘米，过点C作直线m⊥l，过△ABQ的外接圆圆心O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF=$\frac{1}{3}$CD，以DE、DF为邻边作矩形DEGF．设运动时间为t秒．
（1）直接用含t的代数式表示BQ、DF；
（2）当0＜t＜1时，求矩形DEGF的最大面积；
（3）点Q在整个运动过程中，当矩形DEGF为正方形时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）由已知得出AQ=3t，由三角函数求出AB=4t，再由勾股定理求出BQ=$\sqrt{A{B}^{2}+A{Q}^{2}}$=5t，作OM⊥AQ于M，则AM=QM=$\frac{1}{2}$AQ=1.5t，CD=OM，由三角形中位线定理得出CD=OM=$\frac{1}{2}$AB=2t，得出DF=$\frac{1}{3}$CD=$\frac{2}{3}$t；
（2）设矩形DEGF的面积为S，求出OE=$\frac{5}{2}$t，OD=QM+CQ=$\frac{3}{2}$t+1，得出DE=OD-OE=1-t，由矩形面积得出S是t的二次函数，即可得出答案；
（3）当矩形DEGF为正方形时，则DE=DF，分两种情况：①当0＜t＜1时，得出方程，解方程即可；
②当t≥1时，DE=t-1，得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵点Q沿着直线l以3厘米/秒的速度由点A向右运动，运动时间为t秒．
∴AQ=3t，
∵∠BAQ=90°，tan∠ABQ=$\frac{AQ}{AB}$=$\frac{3}{4}$，
∴AB=4t，
∴BQ=$\sqrt{A{B}^{2}+A{Q}^{2}}$=5t，
作OM⊥AQ于M，则AM=QM=$\frac{1}{2}$AQ=1.5t，CD=OM，
∴OM是△ABQ的中位线，
∴CD=OM=$\frac{1}{2}$AB=2t，
∴DF=$\frac{1}{3}$CD=$\frac{2}{3}$t；

（2）设矩形DEGF的面积为S，
∵OE=OB=$\frac{1}{2}$BQ=$\frac{5}{2}$t，OD=QM+CQ=$\frac{3}{2}$t+1，
∴DE=OD-OE=$\frac{3}{2}$t+1-$\frac{5}{2}$t=1-t，
∴$S=DF•DE=\frac{2}{3}t（1-t）=-\frac{2}{3}{（t-\frac{1}{2}）^2}+\frac{1}{6}$，
∴当t=$\frac{1}{2}$时，矩形DEGF的最大面积为$\frac{1}{6}$；

（3）当矩形DEGF为正方形时，则DE=DF，分两种情况：
①当0＜t＜1时，如图1所示：DE=1-t，
∴1-t=$\frac{2}{3}$t，
解得：t=$\frac{3}{5}$；
②当t≥1时，如图2所示：DE=t-1，
∴t-1=$\frac{2}{3}$t，
解得：t=3；
综上所述：当矩形DEGF为正方形时，t的值为$\frac{3}{5}$或3．

点评 本题是圆的综合题目，考查了垂径定理、三角函数、勾股定理、矩形的面积、二次函数的最值、正方形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．