Question

19．已知关于x的方程x²-（m+2）x+2m-1=0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）若抛物线y=x²-（m+2）x+2m-1=0与x轴有两个交点都在x轴正半轴上，求m的取值范围；
（3）填空：若x²-（m+2）x+2m-1=0的两根都大于1，则m的取值范围是m＞2．

Answer 1

分析 （1）表示出根的判别式，配方后得到根的判别式大于0，进而确定出方程总有两个不相等的实数根；
（2）设抛物线y=x²-（m+2）x+2m-1=0与x轴两个交点的横坐标是x₁，x₂，根据两个交点都在x轴正半轴上得出x₁+x₂＞0，x₁•x₂＞0，利用根与系数的关系列出不等式组，求解即可；
（3）设x²-（m+2）x+2m-1=0的两根是x₁，x₂，根据两根都大于1得出x₁+x₂＞2，（x₁-1）（x₂-1）＞0，根据根与系数的关系列出不等式组，求解即可．

解答 （1）证明：∵△=[-（m+2）]²-4（2m-1）=m²+4m+4-8m+4=m²-4m+8=（m-2）²+4，
∵（m-2）²≥0，
∴（m-2）²+4＞0，
∴无论m取何实数时，此方程都有两个不相等的实数根；

（2）解：设抛物线y=x²-（m+2）x+2m-1=0与x轴两个交点的横坐标是x₁，x₂，
则x₁+x₂=m+2，x₁•x₂=2m-1．
根据题意，得$\left\{\begin{array}{l}{m+2＞0}\\{2m-1＞0}\end{array}\right.$，
解得m＞$\frac{1}{2}$．
即m的取值范围是m＞$\frac{1}{2}$；

（3）解：设x²-（m+2）x+2m-1=0的两根是x₁，x₂，
则x₁+x₂=m+2，x₁•x₂=2m-1．
根据题意，得$\left\{\begin{array}{l}{m+2＞2}\\{（2m-1）-（m+2）+1＞0}\end{array}\right.$，
解得m＞2．
故答案为m＞2．

点评 此题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，根的判别式，二次函数与一元二次方程的关系，利用根与系数的关系得出不等式组是解题的关键．