Question

8．如图，已知点C（1，0），直线y=-x+7与两坐标轴分别交于A、B两点，D、E分别是AB，OA上的动点，当△CDE周长最小时，点D坐标为（$\frac{25}{7}$，$\frac{24}{7}$）．

Answer 1

分析 点C关于OA的对称点C′（-1，0），点C关于直线AB的对称点C″（7，6），连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，可以根据待定系数法求得直线DE的解析式，然后联立方程，求得交点D的坐标．

解答 解：如图，点C关于OA的对称点C′（-1，0），点C关于直线AB的对称点C″，
∵直线AB的解析式为y=-x+7，
∴直线CC″的解析式为y=x-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+7}\\{y=x-1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴F（4，3），
∵F是CC″中点，
∴可得C″（7，6）．
连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，
∵C′（-1，0），C″（7，6），
∴设直线DE的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{7k+b=6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
∴直线DE的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{4}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+7}\\{y=\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{25}{7}}\\{y=\frac{24}{7}}\end{array}\right.$，
∴点D坐标为（$\frac{25}{7}$，$\frac{24}{7}$），
故答案为（$\frac{25}{7}$，$\frac{24}{7}$）．

点评 本题考查轴对称-最短问题、待定系数法求一次函数的解析式以及直线的交点问题，解题的关键是利用对称性在找到点D、点E位置，属于中考常考题型．