Question

已知△ABC的三边分别为a、b、c，它们所对的角分别为A，B，C，若∠A=2∠B，b=4，c=5，则a=

 

．

Answer 1

考点：正弦定理与余弦定理,等腰三角形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：计算题

分析：方法一：如图1，利用正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

和条件∠A=2∠B可得

a

sin2B

=

b

sinB

，然后利用二倍角公式sin2B=2sinB•cosB可得cosB=

a

2b

，结合余弦定理cosB=

a2+c2-b2

2ac

可得

a

2b

=

a2+c2-b2

2ac

，然后把b=4，c=5代入等式就可求出a的值．
方法2：延长CA到点D，使得AD=AB，连接BD，如图2．根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质可得∠CAB=2∠D，结合条件∠CAB=2∠ABC可得∠ABC=∠D，从而证到△CAB∽△CBD，然后运用相似三角形的性质就可解决问题．

解答：解：方法一：如图1，

根据正弦定理可得

a

sinA

=

b

sinB

．
∵∠A=2∠B，
∴

a

sin2B

=

b

sinB

．
∵sin2B=2sinB•cosB，
∴

a

2sinB•cosB

=

b

sinB

，
∴cosB=

a

2b

．
根据余弦定理可得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

，
∴

a

2b

=

a2+c2-b2

2ac

，
∴b=4，c=5，
∴

a

8

=

a2+25-16

10a

，
整理得：a²=36，
∵a＞0，∴a=6．
故答案为：6．

方法2：延长CA到点D，使得AD=AB，连接BD，如图2．

∵AD=AB，∴∠D=∠ABD．
∴∠CAB=∠D+∠ABD=2∠D．
∵∠CAB=2∠ABC，
∴∠ABC=∠D．
∵∠C=∠C，
∴△CAB∽△CBD，
∴

BC

DC

=

CA

CB

，
∴BC²=CA•CD．
∵AC=b=4，CD=CA+AD=CA+AB=b+c=4+5=9，BC=a，
∴a²=4×9=36．
∵a＞0，∴a=6．
故答案为：6．

点评：本题考查了正弦定理、余弦定理、二倍角公式、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质等知识，由一定的难度．