Question

如图，对称轴为x=1的抛物线y=x²+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（3，0），另一个交点为A，与y轴交于点E，且经过点C（4，m）．
（1）求直线AC及抛物线的解析式；
（2）连接OC、CB，若点P在抛物线上，且S_△POE=

1

2

S_△BOC，求点P的坐标；
（3）若点Q是线段AC上的动点，作QF⊥x轴交抛物线于F，求线段QF长度的最大值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）由抛物线y=x²+bx+c的对称轴为x=1，可得b=-2，把B（3，0）代入y=x²-2x+c，得c=-3，即可得出抛物线的解析式，把C（4，m）代入y=x²-2x-3，得m=5，由A，C点的坐标，得出AC的解析式为y=x+1，
（2）先由点B，点C的坐标求出S_△BOC的值，再由S_△POE=

1

2

S_△BOC求出S_△POE的值，设P（t，t²-2t-3），求出t的值即可求出点P的坐标．
（3）设Q（a，a+1），F（a，a²-2a-3），可得|QF|=a+1-（a²-2a-3）=-（a-

3

2

）²+

25

4

，即可求出线段QF长度的最大值为

25

4

．

解答：解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c的对称轴为x=1，
∴-

b

2a

=-

b

2

=1，
∴b=-2，
∵抛物线y=x²+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（3，0），
∴把B（3，0）代入y=x²-2x+c，得c=-3，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3，
令0=x²-2x-3得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），
把C（4，m）代入y=x²-2x-3，得m=5，
∴C（4，5），
设直线AC的解析式为y=kx+b，把A（-1，0），C（4，5）代入，得AC的解析式为y=x+1，
（2）S_△BOC=

1

2

×3×5=

15

2

，
∴S_△PDE=

1

2

S_△BOC=

15

4

∵E（0，3），
设P（t，t²-2t-3），
∴S_△PDE=

1

2

×3×|t|=

15

4

，
|t|=

5

2

，
P₁=（

5

2

，-

7

4

），P₂（-

5

2

，

33

4

），
（3）设Q（a，a+1），
∴F（a，a²-2a-3）
∴|QF|=a+1-（a²-2a-3）=-a²+3a+4=-（a-

3

2

）²+

25

4

∴线段QF长度的最大值为

25

4

．

点评：本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识求解．