Question

7．已知△ABC中，G是三角形的重心，AB=$\frac{15}{2}$，过点G的直线MN∥AB，交AC于M，BC于N，则MN的长为（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． $\frac{9}{2}$
• D． 5

Answer 1

分析 由MN∥AB易得△CMN∽△CAB，同理可证△CMG∽△CAD，所以$\frac{MN}{AB}=\frac{CM}{CA}=\frac{CG}{CD}$，由G是三角形的重心知$\frac{CG}{CD}=\frac{2}{3}$，即可求MN的长．

解答 解：如图所示，连接CD，
∵MN∥AB，
∴∠CMN=∠A，∠CNM=∠B，
∴△CMN∽△CAB，
同理可证△CMG∽△CAD，
∴$\frac{MN}{AB}=\frac{CM}{CA}=\frac{CG}{CD}$，
又∵G是三角形的重心，
∴$\frac{CG}{CD}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{MN}{AB}$=$\frac{MC}{AC}$=$\frac{CG}{CD}$=$\frac{2}{3}$，
∴MN=$\frac{2}{3}$AB=$\frac{2}{3}$×$\frac{15}{2}$=5．
故选：D．

点评 本题主要考查了三角形的重心的性质，相似三角形的判定及性质．①三角形三边的中线相交于一点，这点叫做三角形的重心．②重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．③平行于三角形一边的直线截其它两边，所得三角形与原三角形相似．④相似三角形的三边对应成比例．