Question

12．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，则线段AC、BF、CD之间的关系式是AC²+BF²=4CD²．

Answer 1

分析 首先根据菱形的判定方法，判断出四边形ABCF是菱形，再根据菱形的性质，即可判断出AC⊥BF；然后根据勾股定理，可得OB²+OC²=BC²，据此推得AC²+BF²=4CD²即可．

解答 解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB∥CE，AD∥BC，
∴四边形ABCF是平行四边形，
又∵AB=BC=CD=DE=EA，
∴四边形ABCF是菱形，
∴AC⊥BF，
∴OB²+OC²=BC²，
∵AC=2OC，BF=2OB，
∴AC²+BF²=（2OC）²+（2OB）²=4OC²+4OB²=4BC²，
又∵BC=CD，
∴AC²+BF²=4CD²．
故答案为：AC²+BF²=4CD²．

点评 （1）此题主要考查了菱形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（2）此题还考查了勾股定理的应用：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，要熟练掌握．