Question

【题目】如图a，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且△APQ为等边三角形，AB=AC,

（1）求证：BP=CQ.

（2）如图a，若∠BAC=120，AP=3，求BC的长.

（3）若∠BAC=120，沿直线BC向右平行移动△APQ得到△A′P′Q′（如图b），A′Q′与AC交于点M.当点P移动到何处时，△AA′M≌△CQ′M？证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）9；（3）当点P移动到BC的中点时，△AA′M≌△CQ′M，证明见解析.

【解析】

（1）根据AB=AC，△APQ为等边三角形，利用AAS证得，从而证得结论；

（2）根据AB=AC,∠BAC=120，得∠B=∠C=30，根据△APQ为等边三角形结合外角定理，∠BAP =∠B=∠C=∠CAQ=30，继而求得答案；

（3）根据平移的性质结合平行线的性质，即可得到答案.

（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C

∵△APQ为等边三角形，

∴AP=AQ，∠APQ=∠AQP

∴∠APB=∠AQC

∴

∴BP=CQ

(2)在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120

∴∠B=∠C=30

已知△APQ为等边三角形，∴∠APQ=∠AQP=60

∴∠BAP =∠B=∠C=∠CAQ=30

∴AP=BP，AQ=CQ,

已知△APQ为等边三角形

∴BP=PQ=QC=AP=3

∴BC=9.

（3）当点P移动到BC的中点，即，P′为BC的中点时，

△AA′M≌△CQ′M.

证明：沿直线BC向右平行移动△APQ得到△A′P′Q′.

由平移的性质可知：PP'=AA'=QQ'.

AA'∥BC

∴∠C=∠MAA'①

当P′为BC的中点时，BP'=CP'，由（2）的解答可知，PB=QC=PQ

∴BP'－PB=CP'－QC

∴PP'=AA'=QQ'= PQ= QC

∴点Q'为QC的中点.

Q'C=QQ'=AA'②

又∠AMA'=∠CMQ'③

∴由①②③可得△AA′M≌△CQ′M.