如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠ABC=90°,AB=2DC,对角线AC⊥BD,垂足为F,过点F作EF∥AB,交AD于点E,CF=4cm.⑴求证:四边形ABFE是等腰梯形;⑵求AE的长. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠ABC=90°,AB=2DC,对角线AC⊥BD,垂足为F,过点F作EF∥AB,交AD于点E,CF=4cm.

⑴求证：四边形ABFE是等腰梯形;
⑵求AE的长.

⑴证明略;⑵AE=BF=

（1）过点D作DM⊥AB，根据已知可求得四边形BCDM为矩形，从而得到DC=MB，因为AB=2DC，从而推出△ABD是等腰三角形，从而得到∠DAB=∠DBA，因为EF∥AB，AE不平行FB，所以AEFB为梯形，从而根据同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形得证；
（2）由已知可得到△DCF∽△BAF，根据相似三角形的对应边成比例，可得到AF的长，再根据△BCF∽△ACB，得到BF²=CF•AF，从而求得BF的长，由第一问已证得BF=AE，所以就求得了AE的长

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如图，在△ABC和△ACD中，在什么条件下，△ABC和△ACD相似?并说明理由

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如图1，点

将线段

分成两部分，如果

，那么称点

为线段

的黄金分割点．
某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线

将一个面积为

的图形分成两部分，这两部分的面积分别为

，

，如果

，那么称直线

为该图形的黄金分割线．

（1）研究小组猜想：在

中，若点

为

边上的黄金分割点（如图2），则直线

是

的黄金分割线．你认为对吗？为什么？
（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
（3）研究小组在进一步探究中发现：过点

任作一条直线交

于点

，再过点

作直线

，交

于点

，连接

（如图3），则直线

也是

的黄金分割线．
请你说明理由．
（4）如图4，点

是

的边

的黄金分割点，过点

作

，交

于点

，显然直线

是

的黄金分割线．请你画一条

的黄金分割线，使它不经过

各边黄金分割点．

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如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线，交于CA的延长线于点E，∠EBC=2∠C.

(1)求证：AB=AC；(2)当

时，①求tan∠ABE的值；②如果AE=

，求AC的值。

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如图甲,正方形ABCD的边长为2,点M是BC的中点,P是线段MC上的一个动点(不运动至M,C),以AB为直径作⊙O,过点P的切线交AD于点F,切点为E。

(1)求四边形CDFP的周长；(3分)
(2)请连结OF,OP,求证：OF⊥OP；(4分)

(3)延长DC,FP相交于点G,连结OE并延长交直线DC于H(如图乙).是否存在点P
使△EFO∽△EHG(其对应关系是 )?如果存在,试求此时的BP的长；如果不存在,请说明理由。(5分)

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科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

在平面直角坐标系内，已知点A(0，6)、点B(8，0)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．
(1)求直线AB的解析式；
(2)当t为何值时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似?
(3)当t=2秒时，求四边形OPQB的面积．