Question

5．如图所示，已知△PQR是等边三角形，∠APB=120°．
（1）指出图中的相似三角形；
（2）若BP=2$\sqrt{7}$，AQ=2，PA=$\sqrt{14}$，求PQ的长和△PRB的面积．

Answer 1

分析 （1）由△PQR是等边三角形，∠APB=120°，易证得∠A=∠BPR，∠B=∠APQ，即可得△APQ∽△PBR，又由∠A是公共角，∠B=∠APQ，即可得△APQ∽△ABP，则可得△APQ∽△PBR∽△ABP．
（2）利用证得的△PAQ∽△BPR，就可得，PA：BP=AQ：PR，则可算出PR、BR的长，在等边△PQR中，PR=RQ，可求出它的高，也就是△PRB的高，由此面积也可求．

解答 解：（1）△APQ∽△PBR，△APQ∽△ABP，△PBR∽△ABP．
证明：∵△PQR是等边三角形，
∴∠PQR=∠QPR=∠PRQ=60°，
∴∠A+∠APQ=∠B+∠BPR=60°，
∵∠APB=120°，
∴∠APQ+∠BPR=60°，
∴∠A=∠BPR，∠B=∠APQ，
∴△APQ∽△PBR，
∵∠A是公共角，∠B=∠APQ，
∴△APQ∽△ABP，
∴△APQ∽△PBR∽△ABP．
（2）解：∵△PAQ∽△BPR
∴PA：BP=AQ：PR
即$\sqrt{14}$：2$\sqrt{7}$=2：PR
∴PR=2$\sqrt{2}$，
在等边△PQR中，PQ=RQ=PR=2$\sqrt{2}$，底边RQ的高为$\sqrt{6}$，
∴PQ：BR=AQ：PR，即2$\sqrt{2}$：BR=2：2$\sqrt{2}$，BR=4，
∵△PRB的高为等边△PQR的高，
∴△PRB的面积为$\frac{1}{2}$×4×$\sqrt{6}$=2$\sqrt{6}$．

点评 此题主要考查等边三角形的性质，三角形相似的判定与性质以及等量代换的渗透，解题的关键是相似三角形的判定与性质的应用．