Question

15．如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在AB上，且DE∥CA．
（1）△BDE与△BCA相似吗？为什么？
（2）已知AB=8，AC=6，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）由于DE∥AC，根据平行线的性质得∠BDE=∠C，加上∠DBE=∠CBA，根据相似三角形的判定可得△BDE∽△BCA；
（2）根据角平分线定义得到∠DAE=∠DAC，再根据平行线的性质得∠DAC=∠EDA，则∠EDA=∠DAE，所以ED=EA，设DE=x，则AE=x，BE=8-x，由于△BDE∽△BCA，则可利用相似比得$\frac{x}{6}$=$\frac{8-x}{8}$，然后根据比例性质求出x即可．

解答 解：（1）△BDE∽△BCA．理由如下：
∵DE∥AC，
∴∠BDE=∠C，
而∠DBE=∠CBA，
∴△BDE∽△BCA；
（2）∵AD是角平分线，
∴∠DAE=∠DAC，
∵DE∥AC，
∴∠DAC=∠EDA，
∴∠EDA=∠DAE，
∴ED=EA，
设DE=x，则AE=x，BE=AB-AE=8-x，
∵△BDE∽△BCA，
∴$\frac{DE}{AC}$=$\frac{BE}{BA}$，即$\frac{x}{6}$=$\frac{8-x}{8}$，解得x=$\frac{24}{7}$，
即DE的长为$\frac{24}{7}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．