Question

17．已知二次函数的图象以A（-1，4）为顶点，且过点B（2，-5）．
（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）将函数图象向左平移1个单位，该函数图象恰好经过原点．

Answer 1

分析 （1）设顶点式y=a（x+1）²+4，然后把（2，-5）代入求出a的值即可；
（2）通过解方程-（x+1）²+4=0可得抛物线与x轴的交点坐标，通过计算自变量为0时的函数值可得到抛物线与y轴的交点坐标；
（3）由于抛物线与x轴的交点坐标为（-3，0），（1，0），把点（1，0）向左平移1个单位到原点，所以把抛物线解析式y=-（x+1）²+4向左平移1个单位，该函数图象恰好经过原点．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）²+4，
把（2，-5）代入得a•9+4=-5，解得a=-1，
所以抛物线解析式为y=-（x+1）²+4；
（2）当x=0时，y=-（x+1）²+4=-1+4=3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）；
当y=0时，-（x+1）²+4=0，解得x₁=1，x₂=-3，则抛物线与x轴的交点坐标为（-3，0），（1，0）；
（3）因为抛物线与x轴的交点坐标为（-3，0），（1，0），所以把抛物线解析式y=-（x+1）²+4向左平移1个单位，该函数图象恰好经过原点．
故答案为1．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．