Question

已知抛物线y=-

1

4

x²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连结AB，BC，D是线段OB上一动点，以CD为一边向右侧作正方形CDEF，连结BF，若S_△OBC=8，AC=BC．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）求证：BF⊥AB；
（Ⅲ）求∠FBE的度数；
（Ⅳ）当D点沿x轴正方向由点O移动以点B时，点E也随着运动，求出点E所走过的路线长是多少？直接写出结果，不必写过程．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为y轴，则b=0；然后利用方程与二次函数的关系求得点B、C的坐标，由S_△OBC=8可以求得c的值；
（2）由抛物线y=-

1

4

x²+4交x轴于点A、B，当x=0，求出图象与y轴的交点坐标，以及y=0，求出图象与x轴的交点坐标，即可得出三角形的形状；首先证明△ACD≌△BCF，利用三角形的全等，得出∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，即可得出答案；
（3）如图，连接BE，过点E作EM⊥x轴于点M．易证△ODC≌△DME，则DM=OC=4，OD=EM．易求BM=EM．则∠MBE=∠MEB=45°；由（2）知，BF⊥AB，故
∠FBE=∠FBM-∠MBE=45°；
（4）由（3）知，点E在定直线上，当点D沿x轴正方向移动到点B时，点E所走过的路程长等于BC的长度．

解答：解：（1）如图，∵AC=BC，
∴该抛物线的对称轴是y轴，则b=0．
∴C（0，c），B（

4c

，0）．
∵S_△OBC=8，
∴

1

2

OC•OB=

1

2

×c×

4c

=8，
解得c=4（c＞0）．
故该抛物线的解析式为y=-

1

4

x²+4；

（2）证明：由（1）得到抛物线的解析式为y=-

1

4

x²+4；
令y=0，得x₁=4，x₂=-4，
∴A（-4，0），B（4，0），
∴OA=OB=OC，
∴△ABC是等腰直角三角形；
如图，又∵四边形CDEF是正方形，
∴AC=BC，CD=CF，∠ACD=∠BCF，
在△ACD和△BCF中，

AC=BC ∠ACD=∠BCF CD=CF

，
∴△ACD≌△BCF（SAS），
∴∠CBF=∠CAD=45°，
∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，
∴BF⊥AB；

（3）如图，连接BE，过点E作EM⊥x轴于点M．
∵∠ODC+∠EDM=90°，∠EDM+∠DEM=90°，
∴∠CDO=∠DEM，
在△ODC和△MED中，

∠COD=∠EMD ∠ODC=∠MED CD=DE

，
∴△ODC≌△DME（AAS），
∴DM=OC=4，OD=EM，
∵OD=OB-BD=4-BD=DM-BD=BM，
∴BM=EM．
∵∠EMB=90°，
∴∠MBE=∠MEB=45°；
由（2）知，BF⊥AB，
∴∠FBE=∠FBM-∠MBE=45°；

（4）由（3）知，点E在定直线上，当点D沿x轴正方向移动到点B时，点E所走过的路程长等于BC=

42+42

=4

2

．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式、全等三角形的判定与性质、正方形和等腰直角三角形的性质，综合性强，考查学生数形结合的数学思想方法．（4）中弄清点E所走过的路程是解题的关键．