Question

如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠AOB=130°，∠BOC=α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，连接OD．
（1）判断△COD的形状，并加以说明理由．
（2）若AD=1，OC=

2

，OA=

3

时，求α的度数．
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？

Answer 1

考点：旋转的性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据旋转得出CO=CD，∠DCO=60°，根据等边三角形的判定推出即可．
（2）根据三条边的关系得到△RtAOC为直角三角形，得到∠AOC=90°，从而求出α的值．
（3）用∠α表示∠ADO、∠AOD、∠DAO，分为三种情况：①∠ADO=∠AOD，②∠ADO=∠OAD，③∠OAD=∠AOD，代入求出即可．

解答：证明：（1）∵△ADC≌△BOC，
∴CO=CD，
∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴∠DCO=60°，
∴△COD是等边三角形．
（2）∵AD=1，OC=

2

，OA=

3

∴OA²=AD²+OC²
∴△AOD是直角三角形
∴∠ADO=90°
∴α=360°-130°-90°=140°
（3）解：∠AOD=360°-∠AOB-∠α-∠COD=360°-130°-∠α-60°=170°-∠α，
∠ADO=∠ADC-∠CDO=∠α-60°，
∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-（∠α-60°）-（170°-∠α）=70°，
若∠ADO=∠AOD，即∠α-60°=170°-∠α，
解得：∠α=115°；
若∠ADO=∠OAD，则∠α-60°=70°，
解得：∠α=130°；
若∠OAD=∠AOD，即70°=170°-∠α，
解得：∠α=100°；
即当α为100°、130°、115°时，△AOD为等腰三角形．
故答案为：（1）略（2）140°，（3）100°、130°、115°

点评：本题考查了等边三角形的性质和判定，旋转的性质，平行线的判定，等腰三角形的性质和判定的应用，用了分类讨论思想．