Question

20．点P是圆外一点，点M，N分别是弧$\widehat{AB}$、$\widehat{CD}$的中点，求证：△PEF为等腰三角形．

Answer 1

分析 首先连接AM，CN，根据圆心角、弧、弦之间的关系和圆周角定理得出∠MAE和∠EMA的度数和等于$\widehat{BM}$、$\widehat{AC}$、$\widehat{CN}$度数和的一半，∠FCN和∠CNF的度数和等于$\widehat{DN}$、$\widehat{AC}$、$\widehat{AM}$度数和的一半，继而可证得∠MAE+∠EMA=∠FCN+∠CNF，则可得∠PEF=∠PFE，然后证得PE=PF，

解答 解：证明：连接AM和CN，
∵点M，N分别是弧$\widehat{AB}$、$\widehat{CD}$的中点，
∴$\widehat{BM}$=$\widehat{AM}$，$\widehat{DN}$=$\widehat{CN}$，
∵∠MAE和∠EMA的度数和等于$\widehat{BM}$、$\widehat{AC}$、$\widehat{CN}$度数和的一半，
∠FCN和∠CNF的度数和等于$\widehat{DN}$、$\widehat{AC}$、$\widehat{AM}$度数和的一半，
∴∠MAE+∠EMA=∠FCN+∠CNF，
∵∠PEF=∠MAE+∠EMA，∠PFE=∠FCN+∠CNF，
∴∠PEF=∠PFE，
∴PE=PF，
即△PEF是等腰三角形．

点评 此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的判定．注意作出辅助线，掌握圆周角与弧的关系是关键．