Question

21、如图，平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F．
（1）求证：△ABE≌△DFE；
（2）连接CE，当CE平分∠BCD时，求证：CE⊥BF．

Answer 1

分析：（1）中可利用平行四边形的性质得出对应的边角相等，进而可求解全等；
（2）中利用（1）中的全等得出线段相等，又由角平分线即平行线的性质，可得出结论．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠BAD=∠FDE．（1分）
又∵点E是AD的中点，∴AE=DE．
在△ABE与△DFE中，
∵∠BAD=∠FDE，AE=DE，∠BEA=∠FED，
∴△ABE≌△DFE．（4分）

（2）证明：∵△ABE≌△DFE∴DF=AB
又∵CD=AB∴CF=2CD（5分）
∵CE平分∠BCD∴∠BCE=∠FCE．
又∵AD∥BC∴∠BCE=∠DEC（6分）
∴∠FCE=∠DEC∴DE=CD（7分）
又∵AE=DE∴BC=2CD，
∴CF=BC（8分）
又∵CE平分∠BCD，
∴CE⊥BF．（9分）

点评：此题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的判定即性质，能够熟练求解此类问题．