Question

【题目】已知抛物线y＝a（x2－cx－2c2）（a＞0）交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．

（1） 取A（－1，0），则点B的坐标为___________；

（2） 若A（－1，0），a＝1，点P为第一象限的抛物线，以P为圆心，为半径的圆恰好与AC相切，求P点坐标；

（3） 如图，点R（0，n）在y轴负半轴上，直线RB交抛物线于另一点D，直线RA交抛物线于E．若DR＝DB，EF⊥y轴于F，求的值．

Answer 1

【答案】(1) B(2，0)(2) P(3，4)(3)

【解析】（1）将A的坐标代入，求出c即可得出点B的坐标，把a，c代入点C的坐标即可；

（2）如图1中，作CE⊥AC交x轴于E，在x轴上取一点F，作FG⊥AC于G，作FP∥AC．当FG=时，点P到直线AC的距离也是，此时以P为圆心为半径的圆恰好与AC相切，想办法求出直线PF的解析式，利用方程组求交点P的值坐标即可．

（3）利用DR=DB得出点D的坐标，而点D在抛物线上，即可得出R的坐标，进而求出直线AR的解析式即可得出点E的坐标，求出EF、AB即可解决问题．

（1）∵抛物线y=a（x2﹣cx﹣2c2）=a（x+c）（x﹣2c），∴A（﹣c，0），B（2c，0），C（0，﹣2ac2），当A（﹣1，0）时，∴﹣c=﹣1，∴c=1，∴2c=2，∴B（2，0）．

故答案为：（2，0）．

（2）∵a=1，c=1，∴B（2，0），C（0，﹣2），∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2．

如图1中，作CE⊥AC交x轴于E，在x轴上取一点F，作FG⊥AC于G，作FP∥AC．

当FG=时，点P到直线AC的距离也是，此时以P为圆心为半径的圆恰好与AC相切．

∵∠OAC=∠CAE，∠AOC=∠ACE=90°，∴△AOC∽△ACE，∴====，∴AE=5，EC=2．

∵EC∥FG，∴==，∴AF=6，∴F（5，0）．

∵直线AC的解析式为y=﹣2x﹣2，设直线PF的解析式为y=﹣2x+b，把（5，0）代入得b=10，∴直线PF的解析式为y=﹣2x+10，由，解得：或．

∵点P在第一象限，∴P（3，4）．

（3）如图2中，∵DR=DB，R（0，n），B（2c，0），∴D（c，n）．

∵点D在抛物线y=a（x2﹣cx﹣2c2）上，∴a（c2﹣c2﹣2c2）=n，∴n=﹣4ac2，∴R（0，﹣4ac2）．

∵A（﹣c，0），∴直线AR的解析式为y=﹣4acx﹣4ac2①．

∵点E在抛物线y=a（x+c）（x﹣2c）②上，联立①②得：E（﹣2c，﹣12ac2），∴EF=2c，AB=3c，∴=．