【题目】已知抛物线y=a(x2-cx-2c2)(a>0)交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧),交y轴于点C.
(1) 取A(-1,0),则点B的坐标为___________;
(2) 若A(-1,0),a=1,点P为第一象限的抛物线,以P为圆心,为半径的圆恰好与AC相切,求P点坐标;
(3) 如图,点R(0,n)在y轴负半轴上,直线RB交抛物线于另一点D,直线RA交抛物线于E.若DR=DB,EF⊥y轴于F,求的值.
【答案】(1) B(2,0)(2) P(3,4)(3)
【解析】(1)将A的坐标代入,求出c即可得出点B的坐标,把a,c代入点C的坐标即可;
(2)如图1中,作CE⊥AC交x轴于E,在x轴上取一点F,作FG⊥AC于G,作FP∥AC.当FG=时,点P到直线AC的距离也是
,此时以P为圆心
为半径的圆恰好与AC相切,想办法求出直线PF的解析式,利用方程组求交点P的值坐标即可.
(3)利用DR=DB得出点D的坐标,而点D在抛物线上,即可得出R的坐标,进而求出直线AR的解析式即可得出点E的坐标,求出EF、AB即可解决问题.
(1)∵抛物线y=a(x2﹣cx﹣2c2)=a(x+c)(x﹣2c),∴A(﹣c,0),B(2c,0),C(0,﹣2ac2),当A(﹣1,0)时,∴﹣c=﹣1,∴c=1,∴2c=2,∴B(2,0).
故答案为:(2,0).
(2)∵a=1,c=1,∴B(2,0),C(0,﹣2),∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2.
如图1中,作CE⊥AC交x轴于E,在x轴上取一点F,作FG⊥AC于G,作FP∥AC.
当FG=时,点P到直线AC的距离也是
,此时以P为圆心
为半径的圆恰好与AC相切.
∵∠OAC=∠CAE,∠AOC=∠ACE=90°,∴△AOC∽△ACE,∴=
=
=
=
,∴AE=5,EC=
.
∵EC∥FG,∴=
=
,∴AF=6,∴F(5,0).
∵直线AC的解析式为y=﹣2x﹣2,设直线PF的解析式为y=﹣2x+b,把(5,0)代入得b=10,∴直线PF的解析式为y=﹣2x+10,由,解得:
或
.
∵点P在第一象限,∴P(3,4).
(3)如图2中,∵DR=DB,R(0,n),B(2c,0),∴D(c,n).
∵点D在抛物线y=a(x2﹣cx﹣2c2)上,∴a(c2﹣c2﹣2c2)=n,∴n=﹣4ac2,∴R(0,﹣4ac2).
∵A(﹣c,0),∴直线AR的解析式为y=﹣4acx﹣4ac2①.
∵点E在抛物线y=a(x+c)(x﹣2c)②上,联立①②得:E(﹣2c,﹣12ac2),∴EF=2c,AB=3c,∴=
.
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【题目】设直线y=kx+6和直线y=(k+1)x+6(k是正整数)及x轴围成的三角形面积为Sk(k=1,2,3,…,8),则S1+S2+S3+…+S8的值是( )
A. B.
C. 16D. 14
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【题目】如图,A、B两点在数轴上,点A表示的数为–10,OB=4OA,点M以每秒2个单位长度的速度从点A开始向左运动,点N以每秒3个单位长度的速度从点B开始向左运动(点M和点N同时出发).
(1)数轴上点B对应的数是__________,线段AB的中点C对应的数是__________;
(2)经过几秒,点M、点N到原点的距离相等?
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【题目】如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,且BD=BC,延长AD到E,BE是⊙O的切线,B是切点.
(1)求证:∠EBD=∠CAB;
(2)若BC=,AC=5,求sin∠CBA.
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【题目】阅读下面文字,然后回答问题.
大家知道是无理数,而无理数是无限不循环小数,所以
的小数部分我们不可能全部写出来,由于
的整数部分是1,将
减去它的整数部分,差就是它的小数部分,因此
的小数部分可用
﹣1表示.
由此我们得到一个真命题:如果=x+y,其中x是整数,且0<y<1,那么x=1,y=
﹣1.
请解答下列问题:
(1)如果=a+b,其中a是整数,且0<b<1,那么a= ,b= ;
(2)如果﹣=c+d,其中c是整数,且0<d<1,那么c= ,d= ;
(3)已知2+=m+n,其中m是整數,且0<n<1,求|m﹣n|的值.
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【题目】如图,在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AB上,且BD=AE,AD与CE交于点F,作CM⊥AD,垂足为M,下列结论不正确的是( )
A. AD=CE B. MF=CF C. ∠BEC=∠CDA D. AM=CM
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,的顶点
在第一象限,点
、
的坐标分别为
、
,
,
,直线
交
轴于点
,若
与
关于点
成中心对称,则点
的坐标为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】在△ABC中,AB=AC,点D是射线CB上的一动点(不与点B、C重合),以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE.
(1)如图1,当点D在线段CB上,且∠BAC=90°时,那么∠DCE= 度;
(2)设∠BAC= ,∠DCE=
.
① 如图2,当点D在线段CB上,∠BAC≠90°时,请你探究与
之间的数量关系,并证明你的结论;
② 如图3,当点D在线段CB的延长线上,∠BAC≠90°时,请将图3补充完整,并直接写出此时与
之间的数量关系(不需证明).
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