【题目】如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,且BD=BC,延长AD到E,BE是⊙O的切线,B是切点.
(1)求证:∠EBD=∠CAB;
(2)若BC=,AC=5,求sin∠CBA.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】(1)先根据等弦所对的劣弧相等,再由切线的性质和圆周角定理即可得出结论;
(2)利用三角形的中位线先求出OF,再用勾股定理求出半径R.在Rt△ODF中,求出sin∠ODF的值,即可得出结论.
如图1,连接OB.
∵BD=BC,∴∠CAB=∠BAD.
∵BE是⊙O的切线,∴∠EBD+∠OBD=90°.
∵AD是⊙O的直径,∴∠ABD=90°,OA=BO,∴∠BAD=∠ABO,∴∠EBD=∠BAD.
∵BD=BC,∴∠CAB=∠DAB,∴∠EBD=∠CAB.
(2)如图2,设圆的半径为R,连接CD.
∵AD为⊙O的直径,∴∠ACD=90°.
∵BC=BD,∴OB⊥CD,∴OB∥AC.
∵OA=OD,∴OF=AC=2.5,∴BF=R-2.5,FD2=OD2-OF2= R2-2.52
在Rt△BFD中,∵BF2+FD2=BD2,∴,2R2-5R-3=0,
∴(2R+1)(R-3)=0.
∵R>0,∴R=3.
在Rt△ODF中,sin∠ODF===.
∵∠CBA=∠CDA,∴sin∠CBA=sin∠CDA= sin∠ODF=.
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【题目】如图,正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小格的顶点叫做格点,以格点为顶点分别按下列要求画三角形.
(1)在图1中,画一个三角形,使它的三边长都是有理数;
(2)在图2中,画一个三角形,使它的三边长分别为3,2,;
(3)在图3中,画一个三角形,使它的三边都是无理数,并且构成的三角形是直角三角形。
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【题目】为了促进学生多样化发展,某校组织开展了社团活动,分别设置了体育类、艺术类、文学类及其它类社团(要求人人参与社团,每人只能选择一项).为了解学生喜爱哪种社团活动,学校做了一次抽样调查.根据收集到的数据,绘制成如下两幅不完整的统计图,请根据图中提供的信息,完成下列问题:
(1)此次共调查了多少人?
(2)求文学社团在扇形统计图中所占圆心角的度数;
(3)请将条形统计图补充完整;
(4)若该校有1500名学生,请估计喜欢体育类社团的学生有多少人?
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【题目】如图,△ABD、△CBD关于直线BD对称,点E是BC上一点,线段CE的垂直平分线交BD于点F,连接AF、EF.
(1) 求证:AF=EF;
(2) 如图2,连接AE交BD于点G.若EF∥CD,求证:;
(3) 如图3,若∠BAD=90°,且点E在BF的垂直平分线上,tan∠ABD=,DF=,请直接写出AF的长.
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【题目】已知抛物线y=a(x2-cx-2c2)(a>0)交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧),交y轴于点C.
(1) 取A(-1,0),则点B的坐标为___________;
(2) 若A(-1,0),a=1,点P为第一象限的抛物线,以P为圆心,为半径的圆恰好与AC相切,求P点坐标;
(3) 如图,点R(0,n)在y轴负半轴上,直线RB交抛物线于另一点D,直线RA交抛物线于E.若DR=DB,EF⊥y轴于F,求的值.
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【题目】某地区教育部门为了解初中数学课堂中学生参与情况,并按“主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目”四个项目进行评价.检测小组随机抽查部分学校若干名学生,并将抽查学生的课堂参与情况绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图(均不完整).请根据统计图中的信息解答下列问题:
(1)本次抽查的样本容量是 ;
(2)在扇形统计图中,“主动质疑”对应的圆心角为 度;
(3)将条形统计图补充完整;
(4)如果该地区初中学生共有60000名,那么在课堂中能“独立思考”的学生约有多少人?
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【题目】(1)如图①,已知△ABC为直角三角形,∠A=90°,若沿图中虚线剪去∠A,则∠1+∠2等于( )
A.90° B.135° C.270° D.315°
(2)如图②,已知△ABC中,∠A=40°,剪去∠A后成四边形,则∠1+∠2=________°;
(3)根据(1)与(2)的求解过程,请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是______________.
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