Question

【题目】如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD=BC，延长AD到E，BE是⊙O的切线，B是切点．

（1）求证：∠EBD=∠CAB；

（2）若BC=，AC=5，求sin∠CBA．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】（1）先根据等弦所对的劣弧相等，再由切线的性质和圆周角定理即可得出结论；

（2）利用三角形的中位线先求出OF，再用勾股定理求出半径R．在Rt△ODF中，求出sin∠ODF的值，即可得出结论．

如图1，连接OB．

∵BD=BC，∴∠CAB=∠BAD．

∵BE是⊙O的切线，∴∠EBD+∠OBD=90°．

∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°，OA=BO，∴∠BAD=∠ABO，∴∠EBD=∠BAD．

∵BD=BC，∴∠CAB=∠DAB，∴∠EBD=∠CAB．

（2）如图2，设圆的半径为R，连接CD．

∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD=90°．

∵BC=BD，∴OB⊥CD，∴OB∥AC．

∵OA=OD，∴OF=AC=2.5，∴BF=R－2.5，FD2=OD2-OF2= R2-2.52

在Rt△BFD中，∵BF2+FD2=BD2，∴，2R2-5R-3=0，

∴（2R+1）（R-3）=0．

∵R＞0，∴R=3．

在Rt△ODF中，sin∠ODF===．

∵∠CBA=∠CDA，∴sin∠CBA=sin∠CDA= sin∠ODF=．