Question

【题目】如图，△ABD、△CBD关于直线BD对称，点E是BC上一点，线段CE的垂直平分线交BD于点F，连接AF、EF．

（1） 求证：AF＝EF；

（2） 如图2，连接AE交BD于点G．若EF∥CD，求证：；

（3） 如图3，若∠BAD＝90°，且点E在BF的垂直平分线上，tan∠ABD＝，DF＝，请直接写出AF的长．

Answer 1

【答案】（1）CF＝EF＝AF（2）证明见解析（3）

【解析】（1）如图1，连接CF，根据轴对称的性质和线段垂直平分线的性质证得结论；

（2）结合已知条件易证△ABD∽△EBF，则该相似三角形的对应边成比例：=，即=．然后由角平分线定理推知=，所以根据等量代换证得=；

（3）如图3，过点E作EH⊥BD于H．结合锐角三角函数定义可以设EH=3a，BH=4a，则BE=EF=5a，BF=8a．过点F作FG⊥EC于G，在直角△GBF中，利用锐角三角函数定义求得线段FG、EG、BD的长度，则易得DF的长度，所以AF=EF=5a．

（1）如图1，连接CF．

∵△ABD、△CBD关于直线BD对称，线段CE的垂直平分线交BD于点F，∴CF=EF=AF，故AF=EF；

（2）由（1）可知：AF=EF．

∵△ABD、△CBD关于直线BD对称，∴△ABD≌△CBD．

又∵EF∥CD，∴△CBD∽△EBF，∴△ABD∽△EBF，∴=，即=．

又BD为∠ABC的平分线，∴=（角平分线定理），∴=；

（3）如图3，过点E作EH⊥BD于H．

∵tan∠EBH=tan∠ABD=，设EH=3a，BH=4a，则HE=3a，BE=EF=5a，BF=8a．

过点F作FG⊥EC于G，∴tan∠GBF=，∴FG=a，EG=CG=a，BC=BE+EG+GC=5a+a+a=，BD=a，∴DF=a﹣8a=a=，a=，∴AF=5a=．

故答案为：．