Question

18．如图，在?ABCD中，E、F分别是边BC，AD的中点，AC是对角线，过点D作DP∥AC，交BA的延长线于点P，∠P=90°．求证：四边形AECF是菱形．

Answer 1

分析 首先根据平行四边形的性质可得CB∥AD，CB=AD．AB∥CD，再根据中点定义可得CE=AF，进而可证明四边形AFCE是平行四边形，然后再证明四边形CDPA是矩形，可得∠DCA=90°，再根据直角三角形的性质可证明CF=AF，进而可证出四边形AECF是菱形．

解答 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CB∥AD，CB=AD．AB∥CD，
∵E、F分别是边BC，AD的中点，
∴CE=$\frac{1}{2}$CB，AF=$\frac{1}{2}$AD．
∴CE=AF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵∠P=90°，AB∥CD，CB∥AD，
∴四边形CDPA是矩形，
∴∠ACD=90°，
在Rt△ADB中
∵F为AB的中点，
∴AF=CF=DF，
∵四边形CFAE是平行四边形，
∴四边形CFAE是菱形．

点评 本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定，直角三角形的性质，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．