Question

已知α，β是关于x的二次方程x²+（2m-1）x+m²=0的二正根
（1）求m的取值范围；
（2）若α²+β²=49，求m的值．

Answer 1

解：（1）∵方程有二正根，
∴△=（2m-1）²-4m²≥0，
即4m≤1，
解得m≤，
又∵α＞0，β＞0，
∴α+β＞0，αβ＞0，
由根与系数的关系得，
，
解得m＜且m≠0，
综上所述，m的取值范围是m≤且m≠0；

（2）由α²+β²=49得，（α+β）²-2αβ=49，
由根与系数的关系可得方程（2m-1）²-2m²=49，
整理得，m²-2m-24=0，
即（m+4）（m-6）=0，
∴m+4=0，m-6=0，
解得m=-4或m=6，
又由（1）知m≤且m≠0，
∴m=-4．
故答案为：（1）m≤且m≠0，（2）m=-4．
分析：（1）先根据根的判别式求出m的取值范围，再根据两个根为正数，利用根与系数的关系列式求出m的取值范围，然后求它们的公共部分即可；
（2）先把α²+β²写出（α+β）²-2αβ的形式，再根据根与系数的关系列式解关于m的一元二次方程即可．
点评：本题考查了根的判别式与根与系数的关系，根据根的判别式与根与系数的关系列式是解题的关键，本题中先根据根的判别式求出m的取值范围容易漏掉而导致出错．